北京市怀柔区2014届九年级上期末考试数学试题及答案

怀柔区2013—2014学年度第一学期初三期末质量检测数学试卷2014.1考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＝12，则∠A的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°2．两个相似三角形周长的比是2:3，则它们的面积比是A．2:3B．3:2C．4:9D．9:43．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为A．40°B．50°C．80°D．100°4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于A．125B．154C．203D．3255．下列事件中，为必然事件的是A．购买一张彩票，一定中奖．B．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球．C．抛掷一枚硬币，正面向上．D．打开电视，正在播放广告．6．将抛物线y＝(x－1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为A．y＝(x－2)2B．y＝x2C．y＝x2+6D．y＝(x－2)2+67．如图，A，B是反比例函数xy2的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则A．S=2B．2＜S＜4C．S=4D．S＞4ABCO第7题图AEDCBOFEDCBA45°30°CBA8．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．Rt△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则∠A的正切值为_________.10．抛物线21yx的最小值是．11．已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是㎝.12．如图，圆心B在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1）.过点P（0，－7）的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有_______个；它们是.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：sin303tan602cos45．14．已知抛物线y=x2-4x+3，求出它的对称轴和顶点坐标.15.如图，在ABCΔ中，ACAB，CDBD，ABCE于E.求证：CBEABDΔΔ∽．16.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=32，求AB的长.17.一只不透明的袋子中装有2个白球和一个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果，求出两次摸出的球颜色相同的概率．OOOOt/st/st/st/sS/cm2S/cm2S/cm2S/cm284161616168884448888A．B．C．D．ABDCEOPEDCBA1OFEDCBAyxO4681012141618202468101214161820218．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)结合图象直接比较：当x＞0时，y1与y2的大小．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AB=10，AC=6，求D到AB的距离.20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若AB=5，sin∠P=35，求BC的长．21．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.22．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并在右图中画出函数的图像；（2）求△PBQ面积的最大值.xyAODCBAQPDCBA图1CNMBA图2AMNBC图3BCNAM五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．理解与应用小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题：如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP.要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是____________，或_________.请回答：（1）小明补充的条件是____________________，或_________________.（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2=AB2+AB.BC.求∠B的度数．24.（1）如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等边△AMN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．ABC图2图1PCBA25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）联结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间.问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？求出PAC的最大面积.OxyCBAlOxyCBAl备用图DABC30°45°怀柔区2013—2014学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．题号12345678答案ACDDBBCB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9101112答案3418338、9、10三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（本小题满分5分）解：原式=1233222………………………………………………3分=1322．…………………………………………………………4分=722.…………………………………………………………………5分14．（本小题满分5分）解：y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3…………………………………………………………………1分=x2-4x+4-1…………………………………………………………………2分=(x-2)2-1…………………………………………………………………3分∴抛物线的对称轴为x=2;……………………………………………………4分顶点坐标为（2,-1）…………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）证明：在ABCΔ中，ACAB，CDBD，∴BCAD，……………………………………………………2分∵ABCE，∴90CEBADB，………………………………………3分又∵B=B……………………………………………………4分∴CBEABDΔΔ∽．………………………………………………5分16.（本小题满分5分）解:过点C作CD⊥AB于D.…………………………………1分在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=32ABDCE∴CD=3，………………………………2分∴AD=AC×cosA=32×23=3……………3分在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=3，……4分∴AB=AD+BD=3+3…………………………………5分17.（本小题满分5分）解：（1）树状图：…………………………3分（2）列表法：所有可能的结果如图所示，………………………………………………4分每个结果发生的可能性都相同，其中出现颜色相同的结果有5个.所以，两次摸出的球颜色相同的概率为95．………………………………5分18.（本小题满分5分）解：(1)将点A(m，2)代入一次函数y1＝x＋1得2＝m＋1，解得m＝1．即点A的坐标为(1，2)．………………………………1分将A(1，2)代入反比例函数y2＝kx.解得k＝2．……2分∴反比例函数的表达式为y2＝2x．……………………3分(2)当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＝1时，y1＝y2；当x＞1时，y1＞y2．…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）2次1次红白白红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）xyAOEDCBA白红白红1白红白白222白红白白开始1次2次ABCDEFO解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离………………………………1分又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=DC在△ABC中∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8，设CD=x，则DE=CD=x，BD=8-x，∵∠DCE=∠DEA=90°，AD为公共边，DE=CD∴△ACD≌△AED（HL），∴AE=AC=6，∴BE=4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2=DB2，即x2+42=(8-x)2，………………3分解得：x=3.……………………4分∴D到AB的距离是3…………5分（其它利用相似三角形的性质、三角函数定义、面积法相应给分）20.（本小题满分5分）（1）证明：∵∠1=∠C，∠C=∠P∴∠1=∠P………1分∴CB∥PD；………………………………………2分（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，…………………………3分∵sin∠P=35，∴sin∠CAB=35，………………………4分即=35，∵AB=5，∴BC=3．……………………………5分（其它方法对应给分）21.（本小题满分5分）（1）证明：连接OE…………………………………………1分∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°.∵OB=OE，∴∠OEB=∠C=60°，∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°.∴OE⊥EF，∵⊙O与BC边相交于点E，∴E点在圆上.∴EF是⊙O的切线…………………………………………2分(2)连接DF,DE.∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF=∠BDF=90°…………………3分设⊙O的半径为r，则BD=2r，∵AB=4，∴AD=4-2r，∵BD=2r，∠B=60°，∴DE=3r,∵∠BDE=30°，∠BDF=90°.∴∠EDF=60°，∵DF、EF分别是⊙O的切线，∴DF=EF=DE=3r,在Rt△ADF中，∵∠A=60°，∴tan∠DFA=42333ADrDFr………………………………4分DBCA图1CNMBA图2AMNBC图3BCNAMyx4681012141618202