北京市西城区2015届九年级上期末考试数学试题及答案

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学2015.1考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只．有一个．．．是符合题意的．1．二次函数2(+1)2yx的最大值是A．2B．1C．1D．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于A．130°B．120°C．80°D．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD4．把抛物线2=+1yx向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A．231yxB．233yxC．231yxD．233yx5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面积是3，那么△A′B′C′的面积等于A．3B．6C．9D．126．如果关于x的一元二次方程21104xxm有实数根，那么m的取值范围是A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤57．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sinBCD的值是A．512B．513C．1213D．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，32AB，且点A，B，C的横坐标Ax，Bx，Cx满足Ax＜Bx＜Cx，那么符合上述条件的抛物线条数是A．7B．8C．14D．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy中，点(2,)An在反比例函数6yx的图象上，ABx轴于点B，那么△AOB的面积等于．10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么BAC°．11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．12．在平面直角坐标系xOy中，(,0)Am，(,0)Bm（其中0m），点P在以点(3,4)C为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足90APB，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：23tan30cos452sin60．14．解方程：2410xx．15．如图，在⊙O中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，连接CD交AB于点E．如果⊙O的半径等于35，1tan2CPO，求弦CD的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△ABC．（1）在正方形网格中，画出△ABC；（2）计算线段AB在旋转到AB的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出(80010)a件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x的函数2(2)1yaxaxa的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tanHDG的值．21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，3OCOE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．（1）请依题意补全图形；（2）求证：AOCDBC；（3）求BMBC的值．22．已知抛物线C：2=23yxx.抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C：2=23yxx()A()B(1,0)(0,3)变换后的抛物线1C（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C），且抛物线1C的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线1C对应的函数表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点1(,2)2A，(3,)Bn在反比例函数myx（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点(1,0)D，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）求证：BAEACB．24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（0m）．（1）①QBC=；②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且3m时，点Q到直线l的距离等于；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为0P，0Q．在图2中画出此时的线段0PC及△0BCQ，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于34时，求m的值．25．如图1，对于平面上不大于90的MON，我们给出如下定义：若点P在MON的内部或边界上，作PEOM于点E，PFON于点F，则称PEPF为点P相对于MON的“点角距离”，记为,dPMON．如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足,dPxOy5，点P运动形成的图形记为图形G．（1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积等于；（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知(3,4)B，(4,1)M，求,dMAOB的值；（3）如果抛物线212yxbxc经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当,dQAOB取最大值时，点Q的坐标．北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2015.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案ABBCDDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．3．10.28．11.415．12.（1）m；（2）3.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：23tan30cos452sin60232332322………………………………………………………3分13321.2…………………………………………………………………………………5分14．解：2410xx．∵1a，4b，1c，………………………………………………………1分∴224(4)41112bac．………………………………………………2分∴2441222bbacxa………………………………………………3分423232．∴原方程的解是123x，223x．……………………………………5分15．解：连接OC．（如图1）∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，∴OC⊥PC，………………………………………………………………………1分PC=PD，∠OPC=∠OPD．∴CD⊥OP，CD=2CE．…………………………2分∵21tanCPO，∴1tantan2OCECPO．……………3分设OE=k，则CE=2k，5OCk．（0k）图1∵⊙O的半径等于35，∴535k，解得3k．∴CE=6．…………………………………………………………………………4分∴CD=2CE=12．…………………………………………………………………5分16．（1）画图见图2．……………………………2分（2）由图可知△ABC是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．……………………3分线段AB在旋转到AB的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．………………………………………4分∴221125ππ5π444ABBSAB扇形．……………………………………5分所以线段AB在旋转到AB的过程中所扫过区域的面积为25π4．17．解：根据题意，得(20)(80010)8000aa．（20≤a≤80）……………………1分整理，得210024000aa．可得(40)(60)0aa．解方程，得140a，260a．……………………………………………………3分当140a时，800108001040400a（件）．当260a时，800108001060200a（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a．…………………………………4分答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．………………………………………………………………………5分18．解：（1）当0a时，函数21yx的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分（2）当a≠0时，函数2(2)1yaxaxa是关于x的二次函数．∵它的图象与x轴只有一个公共点，∴关于x的方程2(2)10axaxa有两个相等的实数根．………2分∴2(2)4(1)0aaa．………………………………………………3分整理，得2340a．解得233a．……………………………………………………………5分图2综上，0a或233a．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．…………………………………………2分∴30APBPBCPAC．∴∠PAC=∠APB．∴PB=AB=400．……………………………3分在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴3sin4002003346.42PCPBPBC≈346（米）．………………4分答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．……………………………………5分20．（1）证明：如图4．∵正方形ABCD，正方形EFGH，∴∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB=∠FDC．……………………1分∴△EBF∽△FCD．……………………2分（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，2215DFCFCD．由（1）得BECFBFCD．∴399124BFCFBECD