《二次函数与一元二次方程》同步练习3

《二次函数与一元二次方程》同步习题一、课前预习1.二次函数y=－x2+4x－3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为（）A．6B．4C．3D．12．当a＞0，Δ=b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a__________0，Δ=b2－4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．3．已知一抛物线与x轴的交点为A（－1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=－1，mn=－12，则此抛物线关系式是__________．二、课中强化1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．2．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1x2，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________，不等式ax2+bx+c0的解集为__________．3．利用图象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x－10=0;(2)2x2－3x+14．已知抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过坐标原点O．（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式．5．已知抛物线y=x2－mx+22m与抛物线y=x2+mx－43m2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x轴交于A、B两点．（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足3211OAOB，求经过A、B两点的抛物线的关系式．图26－2－1三、课后巩固1．二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是（）A．y=2(x－4)(x+2)B．y=2(x+4)(x－1)C．y=2(x－4)(x－1)D．y=2(x－4)(x+1)2．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．3．求下列二次函数与x轴的交点：(1)y=x2+4x－5;(2)y=－x2+x+2;(3)y=x2－3x;(4)y=x2－6x+10.4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.5．如图26－2－2，抛物线y=21(x+1)2－2，（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；（2）有一条直线y=x－1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S△ABP=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．图26－2－26．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为221xx，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；（3）设A,B两点的距离d=21a·｜x1－x2｜,试用含a的代数式表示d.7．画出函数y=x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）方程x2－4x－3=0的解是什么？（3）不等式x2－4x－30，x2－4x－30的解是什么？8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10－3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）9．已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2－5x+6及图象(如图26－2－3)，可得出表中第2行的相关数据．y=x2+px+qpqΔx1x2dy=x2－5x+6－561231y=x2－21x214121y=x2+x－2－2－23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2－4q0)证明你的猜想.图26－2－310．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(abacab44,22)〕(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为的两部分，请求出P点的坐标．图26－2－4参考答案一、课前预习1．答案：C解析：解方程－x2+4x－3=0,得A、B为（1，0）、（3，0），当x=0时，y=－3，所以C为（0，－3），所以△ABC的面积为21×3(3－1)=3.2．答案：解析：当a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与x轴无交点，则其值恒为正；当a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与x轴无交点，则其值恒为负．3．答案：y=x2－2x－3解析：由题意，得m、n为方程x2+x－12=0的两根，∴.12,1mnnm解得m=－4，n=3或m=3，n=－4．又∵(1，n)在第四象限，∴n0．∴m=3，n=－4，即B(3,0)，C（1，－4）．设抛物线的关系式为y=a(x－3)(x+1)．把（1，－4）代入上式，得－4＝a（1－3）（1+1），∴－4a＝－4.∴a＝1．∴y＝（x－3）(x+1)=x2－2x－3．二、课中强化1．答案：（b－k）2－4a(c－d)0；（b－k）2－4a(c－d)=0；（b－k）2－4a(c－d)0解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的情况．2．答案：xx2或xx1x1xx2解析：抛物线在x轴上方的范围是y0，抛物线在x轴下方的范围是y0，抛物线上的点在x轴上时y=0，对应的x的范围分别为xx2或xx1；x1xx2．3．解：略．解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值．4．解:(1)∵抛物线y=x2+(n－3)x+n+1经过原点，∴n+1=0．∴n=－1．得y=x2－4x，即y=x2－4x=(x－2)2－4．∴抛物线的顶点P的坐标为（2，－4）．（2）根据题意，得点A的坐标为（4，0）．设所求的一次函数解析式为y=kx+b．根据题意，得,24,40bkbk解得.8,2bk∴所求的一次函数解析式为y=2x－8．5．解析：(1)经过A、B两点的抛物线的Δ＞：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.解法一：（1）y=x2－mx+22m,中Δ1=m2－2m2=－m2．∵抛物线不过原点，∴m≠0.∴－m20.∴Δ10．∴抛物线y=x2－mx+22m与x轴无交点．∴y=x2+mx－43m2经过A、B两点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，∴OA=－x1，OB=x2．又∵3211OAOB,∴321112xx，即3（x1+x2）=2x1x2．又∵x1、x2是方程x2+mx－43m2=0的两根，∴x1+x2=－m，x1x2=－43m2．∴－3m=23m2．∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2．∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x－3．解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，∴m≠0．抛物线y=x2－mx+22m与y轴交于(0，22m)．∵22m0，∴抛物线y=x2－mx+22m不经过A、B点．抛物线y＝x2+mx－43m2与y轴交于（0，－43m2），－43m20，∴抛物线y=x2+mx－43m2经过A、B两点．（2）同解法一中的（2）．三、课后巩固1．答案：C解析：由二次函数两点式y=a(x－x1)(x－x2)，a=2,x1=1,x2=4即得.2．答案：y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24解析：已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x－x1)(x－x2)或一般式求其解析式．∵抛物线与x轴交于（4，0），（2，0），∴设y=a(x－4)(x－2)=a(x2－6x+8)=ax2－6ax+8a．顶点到x轴距离为3，即顶点纵坐标为3或－3，∴aaa4363222=3或aaa4363222=－3.解得a=－3或a=3．∴y=－3x2+18x－24或y=3x2－18x+24．注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.3．解析：令y=0,求解关于x的一元二次方程．答案：（1）（1，－5）;（2）（－1，2）;（3）（0，3）;（4）不存在.注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况．4．解:（1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入,得,,213,21,124,0,mcmbmambambamc解得所以，解析式为y=21mx2－213mx+m(m≠－1)．（2）二次函数与x轴有两个相异的交点，即Δ=b2－4ac=(213m)2－4m(21m)0，解得m≠1.又m≠－1,得m≠±1.5．解：（1）A（－3,0），B（1,0）．（2）交点坐标为（1,0）和（－1，－2）．（3）设P点坐标为（a，b）,则△ABP中，AB边上的高为｜b｜，又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=－1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(6－1,1);P(6－1,1);P(2－1,－1);P(2－1,－1)．6．解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2－ax－5=0,∵Δ=(－a)2－4×2×(－5)=a2+400，∴方程有两个不相等的实数根．∴不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点．（2）∵x1、x2是方程2x2－ax－5=0的两个根,∴x1+x2=2a,x1x2=25．点P的纵坐标为225522121aaxaxyy(x1+x2)+5=2a·2a+5=42a+5．（3）∵x1+x2=2a,x1x2=25．∴｜x1－x2｜=2401044)()(2221221221aaxxxxxx.∴d=240122aa=21404124aa.7．解：图象如图所示．（1）x1≈4.6，x2≈－0.65，∴抛物线与x轴交点坐标为（4.6，0），（－0.65，0）．（2）x1≈4.6，x2≈－0.65．（3）不等式x2－4x－30的解为x－0.65或x4.6；不等式x2－4x－30的解为－0.65x4.6．8．解：（1）由题意得，函数图象经过（0，0），（2，6），（3，7.5），将它们代入y=ax2+bx+c,得.5.739,624,0cbacbac解之,得0,4,21cba所以y=－21x2+4x．（2）y=－21x2+4xy=－21（x－4）2