小专题(七)　旋转中的计算与证明

小专题(七)旋转中的计算与证明类型1基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)类型2基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝3，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．3．如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，构成一个△AMN，求△AMN的周长．参考答案【例1】AE2＋BF2＝EF2.证明：将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，∴OH＝OF，AH＝BF，∠BOF＝∠AOH，∠HOF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∠AOB＝90°.∵∠EOF＝45°，∴∠AOE＋∠BOF＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE＋∠AOH＝∠EOH＝45°.∴∠EOH＝∠EOF.在△EOH和△EOF中，OH＝OF，∠EOH＝∠EOF，OE＝OE，∴△EOH≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在Rt△AEH中，由勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，AH＝BF，∴AE2＋BF2＝EF2.1.(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE＝∠D′AE.在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴△ADE≌△AD′E(SAS)．∴DE＝D′E.(2)∠DAE＝12∠BAC.理由如下：在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，AE＝AE，DE＝D′E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)．∴∠DAE＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝12∠BAC.(3)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°.∵△D′EC是等腰直角三角形，∴D′E＝2CD′.由(2)可得DE＝D′E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴BD＝CD′.∴DE＝2BD.【例2】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP＝2，DB＝PC＝3，∠DAP＝60°.∴△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，DB＝3，BP＝1，DP＝2，∴DP2＋BP2＝DB2.∴∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.∴∠APB＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°.2.将△APC绕点C按逆时针旋转60°，使CA移至CB处，PC移到P′C，PA移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP′是等边三角形．∴∠P′PC＝60°，PP′＝PC＝1.∵∠BPC＝150°，∴∠BPP′＝90°.在Rt△BP′P中，BP＝2，PP′＝PC＝1，由勾股定理得P′B＝22＋1＝5＝PA.∴PA＝5.3.因为△ABC为等边三角形，△DBC为等腰三角形，∠BDC＝120°，所以以D为旋转中心，按顺时针方向将△DBM旋转120°如图，且N、C、E三点在同一条直线上．所以DM＝DE，CE＝BM，∠BDM＝∠CDE.因为∠MDN＝60°，所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN和△DEN中，DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，所以△DMN≌△DEN.所以NE＝MN.所以△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋NE＋AN＝AM＋NC＋CE＋AN＝AM＋NC＋MB＋AN.即△AMN的周长＝AB＋AC.因为AB＝AC＝1，故△AMN的周长为2.