切线长定理的应用 课后练习一及详解

学科：数学专题：切线长定理的应用主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=60°，求∠ACB的度数.金题精讲题一：题面：如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连结EH，求△BHE的面积．图1图2ABCDEHOABCDEHO满分冲刺题一：题面：如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④题二：题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：60或120度解析：连接OA、OB，∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，当点C在优弧AC上时，如图又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角，∴∠ACB=12∠AOB=60°．当点C在劣弧AC上时，∠ACB=180°-12∠AOB=120°．金题精讲题一：答案：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD∴⊙O与CB相切于E点．（2）解：∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=12AB=162=3，∴CH=22CAAH=2253=4．∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于H点．由（1）知⊙O与CB相切于E点，∴BE=BH=3.如图，过E作EF⊥AB于点F，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH．∴BEEFBCCH，即：354EF，∴EF=125∴11121832255BHEsBHEF解析：（1）由等腰三角形的性质易得CH是∠ACB的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD，即圆心O到直线CB的距离等于半径，所以结论得证；（2）先由等腰三角形的性质，得BC=AC=5，BH=AH=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=4；再由切线长定理得BE=BH=3；然后，过点E作EF⊥AB于点F，则易得△BEF∽△BCH，根据相似三角形的对应边成比例得EH的长，这样得△BHE的面积=12BHEF．本题系几何大型综合题．以等腰三角形和圆为背景，综合考查圆中的三大定理，即圆的切线的判定定理与性质定理、切线长定理，又对相似形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义进行考查，需要综合运用所学知识解答这类问题；另外合理的作辅助线也是解决问题的关键所在．满分冲刺题一：答案：C解析：∵BA，BE是圆的切线．∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE∴DE∥OF故①正确；∵CD=CE，AB=BE∴AB+CD=BC故②正确；ABCDEHOF∵OD=OF∴∠ODF=∠OFD=∠BFP若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴OA•OD=AB•CD∴AD2=4AB•DC故④正确．故正确的是：①②④．故选C．题二：答案：（1）连接OE，OC∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC，∴△OBC≌△OEC．∴∠OBC＝∠OEC．又∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC＝90°．∴∠OBC＝90°．∴BC为⊙O的切线（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B，∴DA＝DE，CE＝CB．设BC为x，则CF＝x－2，DC＝x＋2．在Rt△DFC中，(x＋2)2－(x－2)2＝(25)2，解得：x＝52．∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC．∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED．∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG．∴CG＝CE＝CB＝52．∴BG＝5．∴AG＝22(25)5＝45＝35．解法一：连接BE，ABGS＝12AB•BG＝12AG•BE，∴25×5＝35BE．∴BE＝103．在Rt△BEG中，EG＝22BGBE＝22105()3＝553．解法二：∵∠DAE＝∠EGC，∠AED＝∠CEG，∴△ADE∽△GCE．∴ADCG＝AEEG，22.5＝35EGEG，解得EG＝553．解析：（1）欲证明BC为⊙O的切线，依据切线的判定定理，需证明OB⊥BC，为此要连接OC，OE，设法证明△OBC≌△OEC，得∠OBC＝∠OEC＝90°．（2）需顺着（1）问结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有二：一连接BE，发现EC＝BC＝CG；二通过过点D作BG边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出CE的长．