切线长定理的应用 课后练习二及详解

学科：数学专题：切线长定理的应用主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B、C不重合)，若∠A＝40°，则∠BDC的度数是().A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°CABOD2D1金题精讲题一：题面：如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_________.满分冲刺题一：题面：如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则DE的长度是（）A．(90)90xRB．(90)90yRC．(180)180xRD．(180)180yR题二：题面：如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若243SDE，求△ABC的周长.CPDOBAE课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：A解析：连接OB.∵直线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°.当点D在优弧CB上时∠BDC为∠D1；当点D在劣弧CB上时∠BDC为∠D2.∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°－∠A＝50°，∴∠D1＝21∠AOB＝25°∵四边形BD1CD2内接于⊙O，∴∠D1＋∠D2＝180°，∴∠D2＝155°.综上，∠BDC的度数为25°或155°.∴答案选A.金题精讲题一：答案：6+π解析：不妨设扇形的圆心为O，内切圆的圆心为O1，⊙O1与半径的切点为B，连接O1B.∵⊙O1内切于扇形，∴∠OBO1=90°，∠O1OB=30°，∴112OOOB，即12OA，解得AO=3，∴扇形的弧长为603180，∴扇形的周长为6+π.满分冲刺题一：答案：B解析：本题考查圆的相关知识，难度较大.根据弧长的计算公式：180nRp，可知只要求出∠EBD的度数就能救出DE的长度.连接DB，EB.因为⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，所以PE=PD=PC，∠PEB＝∠PDB＝90°.根据四边形内角和是360角可得∠EBD=180°-∠EPD=180°-(∠CPE-∠CPD)=180°-［180°-2∠PCE-(180°-2∠PCD)］=180°+2∠PCE-2∠PCD=180°-2∠DCE=180°-2y°.所以DE的长度=(1802)180yRp-=9090Ry，故选B.题二：答案：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝12OP＝12，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝22OAOF＝22131()22，∴AB＝2AF＝3．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，FCPDOBAEHG因为∠DAE＋∠DBA＝12∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴ABDACDBCDSSSS＝12AB•DE＋12BC•DH＋12AC•DG＝12(AB＋BC＋AC)•DE＝12l•DE．∵243SDE，∴21243lDEDE，∴l＝83DE.∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝12∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝3tan3033DGDEDE，∴CH＝CG＝3DE．又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝13，∴△ABC的周长为833．解析：（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝12，借助勾股定理可求得AF的长；（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；（3）由题可知ABDACDBCDSSSS＝12DE(AB＋AC＋BC)，又因为243SDE，所以21()243DEABACBCDE，所以AB＋AC＋BC＝83DE.，由于DH＝DG＝DE，所以FCPDOBAEHG在Rt△CDH中，CH＝3DH＝3DE，同理可得CG＝3DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝23DE＋23，可得83DE＝23DE＋23，解得：DE＝13，代入AB＋AC＋BC＝83DE，即可求得周长为833．