圆的有关计算 课后练习二及详解

学科：数学专题：圆的有关计算主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为23cm,用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面的半径为__cm.金题精讲题一：题面：如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm.题二：题面：将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A.22B.2C.10D.32满分冲刺题一：题面：如图(1)，已知圆锥的底面半径r＝10cm，母线长为40cm.SAB(1)⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多少？题二：题面：如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．题三：题面：如图，把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了4cm，这个圆的面积是cm2．思维拓展题面：把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（既点B处），点C运动到了C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°……，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为_______________．经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为_______________．mOAB(O1)CC1B1课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：32解析：过O点作OE⊥AB，垂足为点E，∵OA=OB，AB=32cm，∴AE=3cm，∠AOE=60º，∴OA=2cm，∴弧AB的长1802120，设该圆锥底面的半径为rcm，∴2r1802120，∴r=32，故答案是32.金题精讲题一：答案：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm，∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm，∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：60551803（cm）．故答案是：53．解析：根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．题二：答案：A解析：作OD⊥AB于D．根据题意得OD=12OA=1.5cm.在Rt△ADO中，OA=2OD，所以∠OAD=30°.所以∠AOD=60°.所以∠AOB=120°.所以12032.180ABl所以用图中阴影部分的扇形围成的圆锥的底面半径AH=1.所以OH=223122.故选A．满分冲刺题一：答案：(1)圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500πcm2；(2)甲虫所走的最短路程长205cm.解析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA展开，如图(2)、(3).则AA的长为2πr＝20π，SA=40，∴20π＝40180n，∴n＝90°∴圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S表面＝S侧＋S底＝29040360＋π·102＝500π（cm2）⑵由圆锥的侧面展开图可知，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路程是线段AB的长.在Rt△ASB中，∠ASB＝90°，SA＝40，SB＝20∴AB＝22SASB＝205cm.(2)(3)题二答案：圆柱的侧面展开图如右图．作出点A关于MN的对称点A’，连结A’B，过点B作BC⊥A’C，垂足为C，则△A’BC是直角三角形，由题意知A’C=1.2m，BC=0.5m，所以由勾股定理得A’B=22221.20.51.3ACBC米，故填1.3．解析：在圆柱侧面上确定最短路径，根据两点之间线段最短，往往画出它的侧面展开图，此题由于壁虎在离容器上沿0.3m处爬上顶部在去捕捉蚊子，所以由轴对称的性质需作出A的对称点，然后利用勾股定理去求．题三答案：圆的半径是：4÷2=2（厘米），圆的面积是：3.14×22=3.14×4=12.56（平方厘米）；答：圆的面积是12.56平方厘米．故答案是：12.56．解析：把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了4厘米，是因为近似的长方形的周长比圆的周长多了圆的两个半径．可求出圆的半径，然后根据圆面积公式解答即可．思维拓展答案：根据图形的旋转性质可知，正方形第一次旋转（如图1）顶点O经过的路线长为1180901l；第二次旋转（如图2）顶点O经过的路线长为2180902l；第三次旋转（如图3）顶点O经过的路线长为1180903l；第四次旋转（如图4）顶点O经过的路线长为0，所以经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为0321lll=118090+218090+118090+0=(1+)22π．由于61=415+1，所以经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为(1+)22π15+2=mOABCB1（15+21215）π．故答案为：222π；231215π．(1)(2)(3)(4)解析：因为正方形第一次旋转（如图1）顶点O经过的路线长是90°的圆心角所对的半径为1的弧长；第二次旋转（如图2）顶点O经过的路线长是90°的圆心角所对的半径为2的弧长；第三次旋转（如图3）顶点O经过的路线长是90°的圆心角所对的半径为1的弧长；第四次旋转（如图4）顶点O经过的路线长为0，之后又回到旋转前的初始状态；这4次路线长之和即为经过4次旋转后，顶点O经过的总路程.由于61=415+1，所以经过61次旋转后，顶点O经过的总路程可求．mAO1(B)C1mA1(C1)O2B1C2mB2(O2)A2C2O3mC3(A2)B3A3O3