对两圆的位置关系的讨论 课后练习一及详解

学科：数学专题：对两圆的位置关系的讨论主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．金题精讲题一：题面：如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是_______m.满分冲刺题一：题面：如图，在三个同样大小的正方形中，分别画一个内切圆．面积为S1（图甲所示）；画四个半径相等、相邻两圆相互外切、与正方形各边都相切的圆，这四个圆的面积和为S4，（图乙所示）；画九个半径相等、相邻两圆相互外切、边缘圆与正方形各边都相切的圆，这九个圆的面积之和为S9，（图丙所示）；则S1，S4和S9的大小关系是（）O1O2A．S1最大B．S4最大C．S9最大D．一样大题二：题面：已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.我选择问题，结论：.证明：题三：题面：已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.（1）如图8，求证：AC是⊙O1的直径；（2）若AC＝AD，①如图9，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1CBO2是平行四边形；②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧︵MB上任取一点E（点E与点B不重合）.EB的延长线交优弧︵BDA于点F，如图10所示.连结AE、AF.则AEAB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明.O2O1图8DCBAO2O1图9DCBAFMO2O1图10EDCBA题四：题面：如图，⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm.⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是（）A.外切B.相交C.内切D.内含lO1O2..课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：2或8解析：∵⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，∴当两圆外切时，有O1O2＝R＋r＝5＋3＝8；当两圆内切时，有O1O2＝R－r＝5－3＝2．综上所述，圆心距O1O2的值是2或8．金题精讲题一：答案：40π解析：如图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，因为⊙O1和⊙O2是等圆，∴△O1O2A，△O1O2B都是等边三角形，∴∠AO1B=∠AO2B=120°，∴周长为：2×240360×2π×15=40π，因此答案为40π满分冲刺题一：答案：D解析：∵设正方形的边长是a，则根据相切两圆的性质得出图甲中圆的半径是12a，O1O2AB图乙中圆的半径是12×12a=14a，图丙中圆的半径是12×13a=16a，∴S1=π×(12a)2=14πa2，S4=4×π×(14a)2=14πa2，S9=9×π(16a)2=14πa2，∴S1=S4=S9．故选D．题二：答案：(1)等腰直角(2)问题一：△PEF是等腰直角三角形证明：连接PA、PB∵AB是直径，∴∠AQB＝∠EQF＝90°∴EF是⊙O′的直径，∴∠EPF＝90°在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF∴PE=PF，∴△PEF是等腰直角三角形问题二：AE=BF证明：连接PA、PB∵AB是直径，∴∠AQB＝∠EQF＝90°∴EF是⊙O′的直径，∴∠EPF＝90°在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF∴AE=BF.解析：本题第(1)比较简单，容易得出答案.当⊙O′与⊙O的位置关系发生变化后，结论不变，因此可以从(1)中学习到如何在两个圆之间进行转化角的关系，从而解决问题.本题第(2)个问题中的问题一和问题二是难度相当，得出一个就能得出另外一个，从而保证考试的公开性.题三：答案：(1)证明：∵CD⊥AB∴∠ABC＝90°∴AC是⊙O1的直径(2)①证明1：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径∵AC＝AD∵CD⊥AB∴CB＝BD∵O1、O2分别是AC、AD的中点∴O1O2∥CD且O1O2＝12CD＝CB∴四边形O1CBO2是平行四边形证明2：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径∵AC＝AD∵CD⊥AB∴CB＝BD∵B、O2分别是CD、AD的中点∴BO2∥AC且BO2＝12AC＝O1C∴四边形O1CBO2是平行四边形证明3：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径∵O1、O2分别是AC、AD的中点∴O1O2∥CD∵CD⊥AB∴CB＝BD∴B是CD的中点∴O2B∥O1C∴四边形O1CBO2是平行四边形证明4：∵CD⊥AB∴∠ABD＝90°∴AD是⊙O2的直径∵AC＝AD∴O1C＝O2B∴∠C＝∠D∵O2B＝O2D∴∠O2BD＝∠D∴∠C＝∠O2BD∴O2B∥O1C∴四边形O1CBO2是平行四边形②AE＞AB证明1：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，∵AC＝AD∴∠ACD＝∠ADC∴∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝∠AFB∴AE＝AF记AF交BD为G∵AB⊥CD∴AF＞AG＞AB当点E与点C重合时，AE＝AC＞AB当点E在劣弧︵CB上(不与点B重合)时，设AE交CD与H，AE＞AH＞AB综上，AE＞AB.证明2：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，连结EC、DF，∵AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90°∠EAC＝∠EBC＝∠DBF＝∠DAF∵AC＝AD直角△AFD≌直角△AEC∴AE＝AF（下同证明1）证明3：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，连结EC、DF，∵AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90°∵∠DBF＝∠DAF∴∠ADF＋∠DBF＝90°又∵∠DBF＝∠EBC∠ABE＋∠EBC＝90°∴∠ADF＝∠ABE∵∠ABE＝∠ACE∴∠ADF＝∠ACE∵AC＝AD∴直角△AFD≌直角△AEC∴AE＝AF（下同证明1）解析：(1)要证明AC是⊙O1的直径，只要说明∠ABC＝90°就行.(2)本题有两个小问，根据平行四边形的判定方法，容易找出条件.②问要通过直角的斜边大于直角边来找出AE与AB的关系.解决第(2)小问时，要注意分情况讨论点E的位置.题四：答案：D解析：两圆的圆心距从8cm变化到1cm，两圆的半径之和为5cm，半径之差为1cm，因此在圆心距的变化过程中，出现过r1＋r2＜d、r1＋r2＝d.、r1－r2＜d＜r1＋r2、r1－r2＝d四种情况，即出现过外离、外切、相交、内切四种情况，没有出现内含，故选D．