点、直线和圆的位置关系 课后练习一及详解

学科：数学专题：点、直线和圆的位置关系主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A．1个或3个B．3个或4个C．1个或3个或4个D．1个或2个或3个或4个金题精讲题一：题面：如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是三角形；（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．满分冲刺题一：题面：如图：直线y＝−333x与x轴，y轴分别相交于A、B两点，半径为1的⊙P沿x轴向右移动，点P坐标为P（m，0），当⊙P与该直线相交时，m的取值范围是（）A．-2≤m≤2B．1＜m＜5C．m＞2D．1≤m≤5题二：题面：如图，直线323yx分别与x、y轴交于点B、C，点A(-2，0)，P是直线BC上的动点.(1)求∠ABC的大小；(2)求点P的坐标，使∠APO=30°；(3)在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况．．．．，并简要说明理由.课后练习解析重难点易错点解析题一：答案：C解析：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．金题精讲题一：答案：（1）等腰直角（2）当∠QPA=60°，△QCP是等边三角形（3）等腰解析：（1）当∠QPA=90°时，由于∠QPO=∠QPA=90°，PQ=PO，则△OPQ是等腰直角三角形，∴∠QOA=45°．又由于OQ⊥CQ，所以∠C=45°，即△PQC是等腰直角三角形；（2）连接OQ．CQ是⊙O的切线，∴∠OQC=90°．∵PQ=PO，∴∠PQO=∠QOP．∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°，∴∠QCO=∠CQP．∴PQ=PC．又∠QPA=60°，∴△QCP是等边三角形；（3）由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP，∠C=90°-∠QOC，而∠QOC=∠OQP，∴∠C=∠PQC．故△QCP一定是等腰三角形．满分冲刺题一：答案：B解析：若圆和直线相切，则圆心到直线的距离应等于圆的半径1，据直线的解析式求得A（3，0），B（0，3），所以∠BAO=30°，所以当相切时，AP=2，点P可能在点A的左侧或右侧．所以要相交，应介于这两种情况之间，则3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5．故选B．题二：答案：(1)∵直线323yx分别与x、y轴交于点B、C∴当x=0时,23y；当y=0时，x=2∴OB=2,OC=23在Rt△COB中∵tan∠ABC=2332OCOB∴∠ABC=60°(2)解法一：如图1，连结AC由(1)知：B(2，0)，C(0,23)，AO=OB=2在Rt△COB中，由勾股定理得,22222(23)4BCOBOC∵AB=BC=4，∠ABC=60°∴△CAB是等边三角形∵CO⊥AB∴∠ACO=30°取BC的中点P2,连结OP2,易得P2(1，3)则OP2∥AC∴∠AP2O=∠CAP2=12∠CAB=30°∴点P的坐标为(0，23)或(1,3)(图1)注：则AP2⊥BC，连结OP2∴OP2=OA=OB∴∠AP2O=12∠BAP2=12∠CAB=30°∴点P的坐标为(0，23)或(1,3)解法二：如图2，以AC为直径作圆与直线BC的两个交点即为符合条件的点P.(题图2)(解法参照解法一)(3)当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个.以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有两个，不妨记为⊙Q、⊙Q′，点Q、Q′关于x轴对称.∵直线BC与⊙Q、⊙Q′的公共点P都满足∠APO=12∠AQO=12∠AQ′O=30°点P的个数情况如下：i)有1个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切；ii)有2个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相交；iii)有3个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切，同时与⊙Q′(或⊙Q)相交；直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；iV)有4个：直线BC同时与⊙Q、⊙Q′都相交，且不过两圆的交点.(图3)或利用3yxb中b的取值范围分情况说明.解析：本题考查了一次函数的综合运用.构造辅助圆是解题的关键.（1）求出直线323yx与x、y轴的交点B、C，从而确定OB,OC的长，在Rt△COB中求出tan∠ABC的值即可求得∠ABC；（2）可以通过观察先猜出点P的位置，再证明∠APO=30°或以AC为直径作圆与直线BC的两个交点即为符合条件的点P；（3）以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°画圆，再利用图形讨论点P的个数情况．讨论直线上的一个动点到两个定点的张角为已知角的问题，一种方法是先通过观察、猜想这个点的位置，然后再给出证明；另一种方法是构造一个辅助圆，使连接两个定点的线段所对的圆周角等于已知角，最后把问题转化为讨论直线与辅助圆的位置关系来解决.