大学课件-概率论与数理统计-一维随机变量函数的分布

如X是随机变量，在y=g(x)连续、分段连续或单调时，则Y=g(X)也是随机变量。一维随机变量函数的分布方法将与Y有关的事件转化成X的事件求随机因变量Y=g(X)的密度函数或分布律)(yfY问题已知随机变量X的密度函数或分布律)(xfX设随机变量X的分布律为L,2,1,)(===kpxXPkk由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为L,2,1,)()(:===∑=ipyYPikyxgkki离散型随机变量函数的分布例1设X的分布律为的分布。试求出1,12,2+−XXX0.250.20.20.20.15P210－1－2X解0.250.20.20.20.15P3212331－1－3－52X-141014210－1－2X2X1+X将表中取相同值的部分作适当并项得0.250.20.20.20.15P3212331－1－3－52X-141014210－1－2X2X1+X将表中取相同值的部分作适当并项得0.40.40.2P410X20.2530.210.20.20.15P－1－3－52X-10.250.20.20.20.15P3212331－1－3－52X-141014210－1－2X2X1+X将表中取相同值的部分作适当并项得0.40.40.2P321︱X︱+1已知X的密度函数f(x)或分布函数求Y=g(X)的密度函数方法：（1）从分布函数出发（2）用公式直接求密度函数连续性随机变量函数的分布例2设随机变量X具有连续的分布密度fX(x)，试求Y=aX+b（其中a，b是常数，并且a≠0）的分布密度fY(y)。解：时当的分布函数为设0)1()(ayFYYduabufadttfabyXPybaXPyYPyFyXbatuabyXY∫∫∞−+=−∞−−==−=+==)(1)(}{}{}{)()(1)()(abyfayFdydyfXYY−==∴duabufadttfabyXPybaXPyYPyFyXbatuabyXY∫∫∞−+=∞+−−−==−=+==)(1)(}{}{}{)(时当0)2(a)(1)()(abyfayFdydyfXYY−−==∴)(1)(abyfayfXY−=综上所述，例3设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，求的分布密度fY(y)。解：σμσσμσσμπσσμσμ−==−=−==∴−−baXXYexfNXxX121)(),(~22/2)(2Qσμ−=XY)1,0(~212)()()(2/222/2)(NXYeeuyfabyfyfuyabyyyXXYσμππσσσσσσσμμσ−=∴==+=−=∴+=−∴−−+−由有例，由16356−+=Pbaξη证明：),(~),(~222σμηξησμξabaNbaN++=，则，例4]2)(exp[21]21exp[21)(1)(22222σμσπμσσπϕϕξηabayaabyaabyay−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−=),(~22σηabauN+∴例5已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解一从分布函数出发)()(yYPyFY=[y)()(2yXPyFY=y[yy−当y0时，FY(y)=0当y0时，)(yXyP−=)()(yFyFXX−−=][⎩⎨⎧=)(yFY0,0≤y0),()(−−yyFyFXX故⎩⎨⎧=)(yfY0,0≤y()0,)()(21−+yyfyfyXX⎩⎨⎧=)(yfY0,0≤y0,2122/1−yeyyπ解二从密度函数出发yyyΔ+1x11)(xxΔ+2x22)(xxΔ+0)(=+≤yyYyPΔ))(())((222111xxXxPxXxxPΔΔ+≤+≤+=2211))((])()[()(xxfxxfyyfXXYΔ+Δ−=Δ即当y0时)(yyYyPΔ+≤当y0时yyyΔ+2xy=21)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf==+−=21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxf==+=yxXyxXdxdyyfdxdyyf=−=+−=)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−−2)(2)(2221|2|121|2|1yyeyeyππ221yey−=π⎪⎩⎪⎨⎧≥=−0,210,0)(2yeyyyfyYπ故此答案是否对？⎪⎩⎪⎨⎧≤=−0,210,0)(2yeyyyfyYπ应修正为