大学课件-概率论与数理统计-全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式我们经常把一个复杂的事件分解为若干互不相容的简单事件之和，再通过对简单事件的概率的计算以及利用概率的可加性，从而把复杂事件的概率计算出来。全概率公式与贝叶斯公式全概率公式定理设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且Ω=∑=niiB1)1(()()()iniiBAPBPAP∑==1则对任一事件A都有(2)P(Bi)0i=1,2,…，n；∑∑====Ω=niiniiABBAAA11Q()()()()iniiniiniiBAPBPABPABPAP∑∑∑=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=111注意：１）P(Bi)0(i=1,2,…,n)条件哪里用到？２）没有此条件，行吗？根据两两互斥事件的加法性质，得证明：定理可以推广到可列多个的情况例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。设Ａ１＝｛晶体管产自甲厂｝，Ａ２＝｛晶体管产自乙厂｝，Ａ３＝｛晶体管产自丙厂｝，Ｂ＝｛晶体管是合格品｝。则P(A1)=P(A3)=0.25P(A2)=0.5()90.01=ABP()80.02=ABP()70.03=ABP()()()()()()()80.070.025.080.050.090.025.0332211=×+×+×=++=ABPAPABPAPABPAPBP由全概率公式得：解：例袋中有大小相同的a个黄球、b个白球。现做不放回地摸球两次，问第2次摸得黄球的概率?解设A表示“第2次摸得黄球”B1={第1次摸得的是黄球｝B2={第1次摸得的是白球｝baabaababbaabaaABPBPBAPBPAPBBBB+=−+++−+−+=+=Ω=+Φ=111)()()()()(,22112121例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.解}{次试验成功第设kAk=L,2,1,===kpAPkk）（）（）（）（）（）（1111||−−−−+=kkkkkkkAAPAPAAPAPAP）（）（114321−−+=kkAPAP[]）（）（1114321−−−+=kkAPAP）（14143−−=kAP)2(41431≥−=−kppkk即)(4111−+−−=−kkkkpppp)()()(123121−−++−+−+=nnnppppppppL)(4114111211pppn−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=−14110)1(53−⋅−+=nnnp即例设甲袋中有m-1只白球和1只黑球，乙袋中有m只白球，每次从甲、乙两袋中分别取出一只球，经交换后放回袋中，求经n次交换后，黑球在甲袋中的概率，并讨论时的情形.∞→n解设经k次交换后，黑球在甲袋的概率为pk。经过k-1次交换后，黑球在甲袋中，再交换一次，黑球仍在甲袋的概率为。当经k-1次交换后，黑球不在甲袋中，再交换一次，黑球在甲袋的概率为。mm1−m1于是，由全概率公式得mpmmppkkk1)1(111⋅−+−⋅=−−mmmpk121+−⋅=−mmp11−=而mpmmpnn121+−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−mmmpmmn211222L=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑−=−2011212niinmmmpmm⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∴nnmmp212121→∞→npn时，当Ω=∑=niiB1)1(贝叶斯公式()()()()()jnjjkkkBAPBPBAPBPABP∑==1()nk,,2,1L=则对任一具有正概率的事件A，有定理(2)P(Bi)0i=1,2,…，n；设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且证明：()()()()()()APBAPBPAPABPABPkkkk==()()()()iniikkBAPBPBAPBP∑==1()nk,,2,1L=定理可以推广到可列多个的情况。例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。解：{}是第一车床加工的零件设=1A{}是第二车床加工的零件２=A{}是合格品=B()951=AP()942=AP()95.0|1=ABP()98.0|2=ABP()()()()()90086798.09495.0952211=×+×=+=ABPAPABPAPBP()()()()86747586790095.095111=××==BPABPAPBAP()()()()86739286790098.094222=××==BPABPAPBAP（２）因此，第一台可能性较大（1）例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。求该产品（1）为销路一般的概率。（2）为畅销品的概率。（3）畅销或销路一般的概率。解设A1={该产品是畅销品}A2={该产品的销路一般}A3={该产品是滞销品}B={试销期内能卖出该产品7000～10000台}P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2P(B|A1)=0.6，P(B|A2)=0.9，P(B|A3)=0.2()()()()44.02.02.09.03.06.05.09.03.0)()()()1(312222=×+×+××===∑=iiiABPAPABPAPBPBAPBAP()()()()49.02.02.09.03.06.05.03.0)()()()2(311111=×+×+×===∑=iiiABPAPABPAPBPBAPBAP93.02.02.09.03.06.05.02.02.01)(1)()3(33=×+×+××−=−=BAPBAP93.044.049.0)()()()3(2121=+=+=BAPBAPBAAPU解法二：