如n重独立试验还满足:每次试验只有两个结果。即只有两个可能事件A与,且。则这n重独立试验又称为n重贝努利(Bernoulli)试验,或称为贝努利概型。重复独立试验二项概率公式做n个完全重复条件的试验,且满足两个条件:(1)每次试验条件相同。因此各次试验中同一个事件出现概率相等;(2)各次试验结果相互独立;满足这两个条件的n次重复试验,称为n重独立试验。n重独立试验A()qpAPpAP=−==1,)(试验2——疾病发生某疾病的发生率为0.001。当卫生部门要对一个拥有5000名员工的单位估计此种疾病的发病情况时,需用p=0.001的n重伯努利试验模型,其中n=5000。试验1——电脑故障某电脑公司售出200台电脑,公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=p,n=200的伯努利试验问题。其中p是电脑故障率。试验3——产品抽样在产品抽验中,如果采用不放回方式抽取n次(每次取一件产品),那么这n次试验就不是重复独立试验(此时,每次试验条件不完全重复,每次抽取正品的概率也不相等)。但是,如果采用放回抽样,即每次抽取检查后放回,这样所作的n次试验就是重复独立试验。在实际问题中,完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的,常常是近似满足条件,此时,可用n重独立试验来近似处理。例如,仍然以抽样问题来讲,当产品数量很大时,相对来说,抽取的产品件数n很小,即使所作的是无放回抽取,我们可以近似地当作有放回抽取,近似地把它看成是n重独立试验(此时,每次试验出现正品的可能性相等)。例1(打靶问题)某老练的射手打五发子弹,中靶概率为0.8,问:(1)他打中两发的概率p1是多少?(2)打中的概率p2是多少?解设Ai={第i次击中靶},由于射手老练,可理解为他每次打中否,彼此不相互影响,为相互独立重复试验。99968.0)8.01(1)(1)8.01(8.0554321232251=−−=−=−=AAAAAPpCp定理(二项概率公式)设一次试验中,事件A出现的概率为P(A)=p(0p1),则在n重伯努利试验中,事件A出现的次数ξ的分布律为()nkpqqpCkPkPknkknn,,2,1,01}{L=−====−∆其中ξ也记作b(k;n,p)当n次试验中事件A在指定的k次试验中出现(下式是前k次出现),在其余n-k次试验中不出现的概率为证明()nkkkAAAAAAPLL2121++()()()()()()()()knkknknkkknkkkqpppAPAPAPAPAPAPAAAAAAP−−++++=−==121212121LLLL{}niiAi,,2,1L==次试验中出现A第记再由试验结果的独立性得由于n重贝努利试验中A出现k次的方式:就是1至n的n个自然数中取出k个数的一种组合,即共有个事件。而这些事件是两两互斥的,故根据概率的可加性可得knC()nkqpCkPknkknn,,,,L210==−注:1)由于上式刚好是二项式(p+q)n的展开式中第k+1项的系数,故我们把它称为二项概率公式。()()100=+==∑∑=−=nknknkknnknqpqpCkP2)),;(pnkbqpCknkkn也被记作−显然:例2某车间有12台车床,每台车床由于种种原因,时常需要停车,设各台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为1/3,求任意时刻车间里有2台车床处于停车状态的概率。解:把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验,试验结果只有停车或开车两种可能,且各车床的停车或开车是相互独立的,故我们可用二项概率公式计算,得()1272.0311312212221212≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−CP解把每个病人服此药当作一次试验,试验结果只有“治愈”或“未治愈”且是相互独立的,故可用贝努利概型计算,所求概率为:例3设某种药物对某种疾病的治愈率为0.8,现有10个患这种病的病人同时服用此药,求其中至少有6人被治愈的概率。()()()97.08.018.0106101010610≈−=∑∑=−=kkkkkCkP例4某车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12分钟,且各机床开动与否是相互独立的,若供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床,问这10台机床能够正常工作的概率为多大?解:每台机床在同一时刻是否开动看成一次试验,10台机床在同一时刻开动的台数,可以看成10重贝努利概型,这里n=10,p=12/60=0.2,q=0.8。10台机床要正常工作,必须同一时刻开动的机床数不得超过50/10=5台,即k≤5。故所求概率为:()()()9936.00264.00881.02013.03020.02684.01074.08.02.0550101010=+++++==≤∑=−kkkkCkP