2010届江苏省南通中学高三最后10天冲刺 6（数学）

南通中学高三最后10天冲刺6--加试题2班级_________学号__________姓名_________,1、.已知矩阵33Acd，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为111，属于特征值1的一个特征向量为232．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．2、过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1xtttytt为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．3、在平面直角坐标系xoy中，动点P到直线4x的距离与它到点2,0F的距离之比为2．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点2,0F作垂直于x轴的直线l,求轨迹C与y轴及直线l围成的封闭图形的面积．4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第i层下电梯的概率)5,4,3,2(i；（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；（Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望.4AMN3A2A1A5、如图，在某城市中，,MN两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A、2A、3A、4A是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,MN处的甲、乙两人分别要到,NM处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,NM为止.（１）求甲经过2A到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在2A处相遇的概率；（３）求甲、乙两人相遇的概率.6、．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，*||2RNnMana，≤．(1)当a∈(－∞,－2)时，求证：aM；(2)当a∈(0,14］时，求证：a∈M；(3)当a∈(14,＋∞)时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．7、已知121,2,3,nnnnnaAAAn，当n≥2时，求证：⑴naann11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3naaaan≤高三最后10天冲刺6--加试题2（答案）1、.3324A12/31/21/31/2Ac2、：曲线的普通方程为224xy．||217AB．3、（Ⅰ）22184xy．（Ⅱ）所求的封闭图形的面积222．4、（Ⅰ）41)(iF；（Ⅱ）256175)411(14P（Ⅲ）的分别列如下表：1234P64164216436646∴6417564646436364212641E5、（1）9种（２）.81400（３）.411006、．（3）当14a时，aM．．7、（1）思路:)2(AA11nknknkn，故当2n时，nnan1)AAA(21nnnn=)]AA([11111nnnnnnn11...na.（2）由（1）得1111nnnnnaaaa，可得左11(1)!(1)!nann)AAA(112111nnnn)!1(1!1nn…1112!1!111...11(1)(1)(2)21nnnn…n13．1、.已知矩阵33Acd，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为111，属于特征值1的一个特征向量为232．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为111可得，3311611cd，即c＋d＝6；………………………………………2分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为232，可得333322cd，即3c－2d＝－2，…………………………………………6分解得233424cAa…………………………8分A的逆矩阵12/31/21/31/2Ac2、过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1xtttytt为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．解：直线的参数方程为33,2()12xssys为参数，…………………………3分曲线1,()1xtttytt为参数可以化为224xy．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得263100ss．设A、B对应的参数分别为12ss，，∴12126310ssss，．……………8分AB2121212()4ssssss＝217．…………………………………10分3、在平面直角坐标系xoy中，动点P到直线4x的距离与它到点2,0F的距离之比为2．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点2,0F作垂直于x轴的直线l,求轨迹C与y轴及直线l围成的封闭图形的面积．（Ⅰ）设,Pxy，由题意有22422xxy，化简得22184xy．即动点P的轨迹C的方程为22184xy．………………4分（Ⅱ）当0y≥时，282xy，即2282yx．………………6分设所求的图形的面积为S，则222200228282Sxdxxdx4AMN3A2A1A=112228222224．故所求的封闭图形的面积222．………………10分4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止.（1）求某乘客在第i层下电梯的概率)5,4,3,2(i；（2）求电梯在第2层停下的概率；（3）求电梯停下的次数的数学期望.解：（Ⅰ）41)(iF；（Ⅱ）256175)411(14P（Ⅲ）可取1、2、3、4四种值6414)1(414CP；64214)22()2(4424CP；64364)3(4332434ACCP；6464)4(444AP故的分别列如下表：1234P64164216436646∴6417564646436364212641E5、如图，在某城市中，,MN两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A、2A、3A、4A是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,MN处的甲、乙两人分别要到,NM处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,NM为止.（１）求甲经过2A到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在2A处相遇的概率；（３）求甲、乙两人相遇的概率.解：（１）甲经过2A，可分为两步：第一步，甲从M经过2A的方法数为13C种；第二步，甲从2A到N的方法数为13C种所以甲经过2A到达N的方法数为123()9C种...2分（２）由（１）知，甲经过2A的方法数为213)(C；乙经过2A的方法数也为213)(C.所以甲、乙两人在2A处相遇的方法数为413)(C＝81；甲、乙两人在2A处相遇的概率为40081)(3636413CCCP.………………………6分（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A、2A、3A、4A处相遇，他们在)4,3,2,1(iAi相遇的走法有413)(iC种方法；所以：433423413403)()()()(CCCC＝164故甲、乙两人相遇的概率10041400164P.答：（1）甲经过2A到达N的方法数为9种；（2）甲、乙两人在2A处相遇的概率为81400；（3）甲、乙两人相遇的概率41100.………………………10分6、．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，*||2RNnMana，≤．(1)当a∈(－∞,－2)时，求证：aM；(2)当a∈(0,14］时，求证：a∈M；(3)当a∈(14,＋∞)时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．证明：（1）如果2a，则1||2aa，aM．………………………………2分（2）当104a≤时，12na≤（1n≥）．事实上，〔〕当1n时，112aa≤．设1nk时成立（2k≥为某整数），则〔〕对nk，221111242kkaaa≤≤．由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．…………………6分（3）当14a时，aM．证明如下：对于任意1n≥，14naa，且21nnaaa．对于任意1n≥，221111()244nnnnnaaaaaaaa≥，则114nnaaa≥．所以，1111()4nnaaaana≥．当214ana时，11()224nanaaaa≥，即12na，因此aM.10分7、已知121,2,3,nnnnnaAAAn，当n≥2时，求证：⑴naann11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3naaaan≤23.（1）因为)2(A)]!1()1[()!1()!(!A11nknknnnknnknkn，所以当2n时，nnan1)AAA(21nnnn=)]AA([11111nnnnnnn111111)AA(1nnnna.所以naann11．………………………………4分（2）由（1）得1111nnnnnaaaa，即1111nnnnaaa，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234naaaaaaaaaa…nnana)1(111(1)!(1)!nann)AAA(112111nnnn)!1(1!1nn…1112!1!11(1)(1)(2)nnnn…2211)2111()111(nnnn…2)211(n13．…………………10分