2017-2018年人教A版选修1-2学业质量标准自测试卷含解析

选修1－2学业质量标准自测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数1－3i2－i＝导学号18674584(B)A．1＋iB．1－iC．iD．－i[解析]1－3i2－i＝1－3i2＋i2－i2＋i＝5－5i5＝1－i.2．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的导学号18674585(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题考查了充要条件的判断．当a＝3时，A＝{2,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝1或a＝3，故为充分不必要条件．3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是导学号18674586(C)A．邻补角不互补B．互补的两个角是邻补角C．不是邻补角的两个角不互补D．不互补的两个角不是邻补角[解析]“邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C．4．(2016·江西抚州高二检测)为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x(小时)与报酬y(元)的数据，分别是(2,30)、(4,40)、(5，m)、(6,50)、(8,70)，他用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则其中m为导学号18674587(D)A．45B．50C．55D．60[解析]由题意知x－＝2＋4＋5＋6＋85＝5，又∵点(x－，y－)在回归直线y－＝6.5x＋17.5上，∴y－＝6.5×5＋17.5＝50，∴50＝30＋40＋m＋50＋705，∴m＝60，故选D．5．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，下列假设正确的是导学号18674588(D)A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数[解析]“2＋3是无理数”的否定是“2＋3不是无理数”，故选D．6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是导学号18674589(D)A．f(x)＝x2B．f(x)＝1xC．f(x)＝lnx＋2x－6D．f(x)＝sinx[解析]第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D．7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为导学号18674590(D)p(K2k)0.500.400.250.150.10k0.4550.7081.3232.0722.706p(K2k)0.050.0250.0100.0050.001k3.845.0246.6357.87910.83A．25%B．75%C．2.5%D．97.5%[解析]查表可得K25.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是导学号18674591(A)A．类比B．综合法C．反证法D．分析法[解析]据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A．9．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于导学号18674592(C)A．45°B．60°C．90°D．120°[解析]如图由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90°，故∠A1FB1＝90°.10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是导学号18674593(D)A．x23－y24＝1B．x24－y23＝1C．x25－y22＝1D．x22－y25＝1[解析]由题知c＝7，设双曲线方程为x2t－y27－t＝1(t0)由x2t－y27－t＝1y＝x－1消去y得，(7－2t)x2＋2tx－8t＋t2＝0.由题意知x1＋x22＝－23，∴x1＋x2＝2t2t－7＝－43，∴t＝2，∴双曲线方程为x22－y25＝1.11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是导学号18674594(B)A．12，－15B．5，－15C．5，－4D．－4，－15[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)·(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)5极小值－15－4由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B．12．已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则导学号18674595(D)A．f(2)e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)e2f(0)[分析]所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较f2e2与f0e0的大小，故构造函数F(x)＝fxex解决．[解析]设F(x)＝fxex，则f′(x)＝f′x－fxex0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)F(0)，∴f2e2f0e0，即f(2)e2f(0)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．已知命题p：∃x∈R，使sinx＝52，则¬p＝∀x∈R，使sinx≠52.导学号18674596[解析]全称命题的否定是特称命题．14．(2016·福建宁德市高二检测)已知复数z满足z(1＋i)＝1(i为虚数单位)，则z＝12－12i.导学号18674597[解析]z＝11＋i＝1－i2＝12－12i.15．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__.导学号18674598[解析]第1个等式有1项，从1开始；第2个等式有3项，从2开始；第3个等式有5项，从3开始；第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.16．已知点A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函数y＝ax(a1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间的函数图象的上方，因此有结论ax1＋ax22ax1＋x22成立．运用类比的思想方法可知，若点A(x1，sinx1)、B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有sinx1＋sinx22sinx1＋x22成立.导学号18674599[解析]依据函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，所以有sinx1＋sinx22sinx1＋x22.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i2)2＋5i3＋4i；导学号18674600(2)复数z＝x＋yi(x、y∈R)满足z＋2iz－＝3＋i，求复数z的对应点Z所在的象限．[解析](1)原式＝2i2＋5i3－4i3＋4i3－4i＝i＋4＋3i5＝45＋85i.(2)由z＋2iz－＝3＋i得(x＋2y)＋(y＋2x)i＝3＋i，∴x＋2y＝3y＋2x＝1，解得x＝－13，y＝53，∴z＝－13＋53i，∴复数z对应点Z的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)已知命题p：方程x22－m＋y2m－1＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围.导学号18674601[解析]p：2－m0m－10，∴m2.故p：m2.q：△＝16(m－2)2－160，即m2－4m＋30，∴1m3.故q：1m3.又∵p∨q为真，¬q为真，∴p真q假，即m2m≤1或m≥3，∴m≥3.19．(本题满分12分)(2016·广东河源市高二检测)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：导学号18674602年龄[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)频数510151055支持“生育二胎”4512821由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.年龄不低于45岁年龄低于45岁合计支持不支持合计参考数据：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析]列联表如下：年龄不低于45岁年龄低于45岁合计支持32932不支持71118合计104050由公式得K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d＝503×11－7×29210×40×32×18≈6.2726.635.故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．20．(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.导学号18674603[解析]解法一：(分析法)要证b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3，只需证明ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－13，即证ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6.而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，得ba＋ab2，ca＋ac2，cb＋bc2.从而ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6.故b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3得证．解法二：(综合法)∵a、b、c全不相等，∴ba与ab，ca与ac，cb与bc全不相等．∴ba＋ab2，ca＋ac2，cb＋bc2.三式相加得ba＋ca＋cb＋ab＋ac＋bc6，∴(ba＋ca－1)＋(cb＋ab－1)＋(ac＋bc－1)3，即b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：导学号18674604(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．[解析](1)解：不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：BC的中点坐标为(x22，12)，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2(x2－x22)．由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝－m2，y－12＝x2x－x22，又x22＋mx2－2＝0，可得x＝－m2，y＝－12.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r＝m2＋92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．22．(本题满分12分)(2017·全国Ⅱ文，21)设函