哈尔滨六中2016届高三数学(文)期中试题及答案

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期中考试高三文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合}1,1{M，},4221|{1ZxxNx，则NM()A.}1,1{B.C.)1,1(D.}1{2.已知2,aibiabRi，其中i为虚数单位，则ab（）A.1B.1C.2D.33.已知向量),2,2(),1,1(nm若)()(nmnm，则（）A．4B．3C．2D．14.已知,02,534)2cos()3sin(则2cos()3等于()A.45B.35C.45D.355.设,,abc是空间三条直线，,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．．．．正确的是()A.当c时，若c，则//B.当,ba且c是a在内的射影时，若bc，则abC.当b时，若b，则D.当b且c时，若//c，则//bc6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是()（单位：m2）．正视图侧视图俯视图A.624B.64C.224D.247．执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a为()A．3B．4C．5D．68.设双曲线)0,0(12222babxay的渐近线与抛物线12xy相切，则该双曲线的离心率等于()A.25B.5C.6D.269.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则ab的概率是()A.45B.35C.25D.1510.在ABC中，60,10ABC，D是AB边上的一点，2CD，CBD的面积为1，则BD的长为()是否A.23B.4C.2D.111.定义在R上的函数)(xfy满足55()()22fxfx，5()()02xfx，任意的21xx，都有)()(21xfxf是521xx的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数()fx是定义在1,2aa上的偶函数,且当0x时,()fx单调递增，则关于x的不等式(1)()fxfa的解集为（）A．45[,)33B．]35,34()32,31[C．)32,31[]31,32(D．随a的值而变化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量,xy满足约束条件0,0,220,xxyxy则32zxy的最大值为.14.定长为4的线段MN的两端点在抛物线xy2上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为.15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则22ba=________.16．长方体1111ABCDABCD的各个顶点都在体积为323的球O的球面上，其中12AA，则四棱锥O-ABCD的体积的最大值为．三、解答题：17.（本小题满分12分）已知正项数列na的前n项和为nS，且nS，na，21成等差数列．（1）证明数列na是等比数列；（2）若3log2nnab，求数列11nnbb的前n项和nT．18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP中，PA⊥平面ABCD，2BCAB，7CDAD，3PA，120ABC，G为线段PC上的点,（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值.20．(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222babyax的两个焦点为1F、2F，离心率为22，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足2421AFAF，21OBOAkk,O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB的面积为定值．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln(1)2fxxax（Ra）．（1）若2a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若不等式()0fx对任意(1,)x恒成立，求实数a的取值范围；请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦ABCD于点M，E是CD延长线上一点，,43,8,10OMEDCDABEF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆1C：22xy＝1经过伸缩变换'3'2xxyy后得到曲线2C．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为10sin2cos·（1）求曲线2C的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在2C上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．（24）（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数()|1||2|fxxx.（1）求关于x的不等式2)(xf的解集；（2）如果关于x的不等式axf)(的解集不是空集，求实数a的取值范围.哈六中2016届高三上文科数学期中考试试题答案一、选择：DBBCCABADCCB二、填空：13.414.4715.216．217．（本小题满分12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若bn=log2an+3，求数列{}的前n项和Tn．18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.18．（1）6x，3y（2）512（3）甲队成绩较为稳定，理由略；（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以6x；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以3y；（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为3412，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为512P．（3）因为甲的平均数为1646571717676778082887510x甲，所以甲的方差2222221=[6475657571757175767510s甲2276757775222807582758875]50.2，又乙的方差2222221=[5675687568757075727510s乙2273758075222867588758975]70.3，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G为线段PC上的点（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求PGGC的值．19．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．．20．（本小题满分10分）已知椭圆222210xyabab的两个焦点为12FF、，离心率为22，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足12142,,2OAOBAFAFkkO为坐标原点．（1）求椭圆的方程;（2）证明：OAB的面积为定值．20．（1）22184xy（2）详见解析【解析】试题解析：（1）由椭圆的离心率为22，可得，22ca，即2ac又12242aAFAF，∴22a∴c=2，∴24b，∴椭圆方程为22184xy（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设1122,,,AxyBxy，联立22184ykxmxy，可得222124280kxkmxm，22222(4)412(28)8840kmkmkm①2121222428,1212kmmxxxxkk∴121212yyxx，2212122211284221212mmyyxxkk2222222121212122222848121212mkmmkyykxmkxmkxxkmxxmkkmmkkk∴22222481212mmkkk，∴22248mmk，∴2242km，设原点到直线AB的距离为d，则2122111221OABmSABdkxxk=2121242mxxxx=2222428421212mkmmkk=2222164642mmkmm=2224422km当直线斜率不存在时，有2,2,2,2,2ABd，∴1222222OABS，即△OAB的面积为定值2221．（本小题满分12分）.已知函数1()ln(1)2fxxax（aR）．（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()0fx对任意(1,)x恒成立，求实数a的取值范围；21．解：（Ⅰ）2a时，()ln1fxxx，1()1,fxx1分切点为(1,0)，(1)2kf································································3分2a时，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为22yx.···············4分（II）（i）1()ln(1)2f