福州一中2015年5月高三文科数学质检试卷及答案

福州一中2015届高考模拟考试卷数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1．复数ii1)1(2等于()A．i1B．i1C．i1D．i12．若集合12{|,01}Ayyxx，1{|2,01}Byyxx，则AB等于()A.,1B.0,1C.D.{1}3.阅读右面的程序框图，若输出的12y，则输入的x的值可能为()A．1B．0C．1D．54.给出两个命题:命题:p不等式0成立是不等式sin0成立的必要不充分条件；命题q：函数22log1yxx是奇函数.则下列命题是真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq5.已知抛物线24yx的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为M，若||4,PF则PFM的面积为（）A.33B.43C.6D.86．等比数列{}na中12a，公比2q，记12nnaaa（即n表示数列{}na的前n项之积），则891011,,,中值最大的是（）A．8B．9C．10D．117．在同一个坐标系中画出函数xay，axysin的部分图象，其中0a且1a，则下列所给图象中可能正确的是()ABCD否开始输出y结束束束束x输入整数是2xy2xsin()6yx22主视图22左视图俯视图8．已知a＞0，x，y满足约束条件13(3)xxyyax，且2zxy的最小值为1，则a＝()A．1B．2C．14D．129.已知ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2,3ABACAOABOA，则CACB的值是()A．3B．3C．32D．110.已知1(1)1xfxxe，则函数()fx在点(0,(0))f处的切线l与坐标轴围成的三角形面积为()A．14B．12C．1D．211.已知()sin(2015)cos(2015)63fxxx的最大值为A，若存在实数12,xx,使得对任意实数x总有12()()()fxfxfx成立，则12Axx的最小值为()A．2015B．22015C．42015D．403012．对于函数()fx，若存在区间][nmA，，使得AAxxfyy，)(|，则称函数()fx为“可等域函数”，区间A为函数()fx的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()A．()lnfxxB．12)(2－xxfC．()21xfxD．()sin()2fxx第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.13．已知实数nm,满足,1,0nmnm则nm11的最大值为．14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．15．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：O1DCBC1A1D1B1A3331373152,39,4,...5171119仿此，若3m的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________.16.巳知函数'(),'()fxgx分别是二次函数()fx和三次函数()gx的导函数，它们在同一坐标系内的图象如右图所示.①若(1)1f，则(1)f.②设函数()()()hxfxgx，则(1),(0),(1)hhh的大小关系为．(用“”连接）三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（Ⅱ）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.18.（本小题满分12分）已知长方体1111ABCDABCD，点1O为11BD的中点.（Ⅰ）求证：1//AB平面11AOD；（Ⅱ）若123ABAA，试问在线段1BB上是否存在点E,使得1ACAE，若存在求出1BEBB，若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）已知数列*(,146),nanNn满足1,aa1,(115),1,(1630),1,(3145),nndnaannd其中*0,.dnN（Ⅰ）当1a时，求46a关于d的表达式，并求46a的取值范围；AMNBOPQ（Ⅱ）设集合Mb|,,,*,116ijkbaaaijkNijk}若11,,34ad求证：2.M20.（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为22221(0)4xymmm，如图所示，在平面直角坐标系xoy中，ABC的三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,2),(1,2)ABC（Ⅰ）当椭圆C与直线AB相切时，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C与ABC三边无公共点，求m的取值范围；（Ⅲ）若椭圆C与ABC三边相交于不同的两点M,N，求OMN的面积S的最大值．21.（本小题满分12分）如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且60AMm．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记,(0,).AOP（Ⅰ）当23时，求点P距地面的高度PQ；（Ⅱ）设tan,yMPN写出用表示y的函数关系式，并求y的最大值．22.（本小题满分14分）已知函数2()(0),fxxaxa()ln,gxx()fx的图象在其与x轴的交点(,0)Ma处的切线为1,l()gx的图象在其与x轴的交点处的切线为2,l且1l,2l斜率相等.（Ⅰ）求(3)f的值；（Ⅱ）已知实数,tR求函数(),1,yfxgxtxe的最小值；（Ⅲ）令'()()(),Fxgxgx给定1212,(1,),,xxxx对于两个大于1的正数,,存在实数m满足：1212(1),(1),mxmxmxmx并且使得不等式12()()()()FFFxFx恒成立，求实数m的取值范围.OABCxXyX福州一中2015届高考模拟考答案数学（文科）1~12ABCCABDDDABB13.414．82π15．916.①1；②(0)(1)(1)hhh17.解：（Ⅰ）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x，解得77.5x即中位数的估计值为77.5（Ⅱ）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m（辆），车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m（辆）设车速在[60,65)的车辆设为,ab，车速在[65,70)的车辆设为,,,cdef，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)abacadaeafbcbdbebfcdcecfdedfef共15种其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)acadaeafbcbdbebf共8种所以，车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为815P.18.解：（Ⅰ）证明：连结1AD交1AD于点G，所以G为1AD的中点，连结1OG在11ABD中，1O为11BD的中点11//OGAB1OG面11AOD且1AB面11AOD1//AB面11AOD（Ⅱ）若在线段1BB上存在点E得1ACAE，连结1AB交AE于点MBC面11ABBA且AE面11ABBABCAE又1ACBCC且1,ACBC面1ABCAE面1ABC1AB面1ABC1AEAB在AMB和ABE中有：90,90BAMABMBAMBEAABMBEA同理：1BAEAAB1RtRtABEAAB1BEABABAA123ABAA12439BEABBB即在线段1BB上存在点E有149BEBB19.解：（Ⅰ）当1a时，16115ad，311615ad，4611615()add．因为0d，21dd≥，或21dd≤，所以46a(,14][46,)．（Ⅱ）由题意1134nna，116n≤≤，314ijkb．令3124ijk，得7ijk．因为,,ijkN，116ijk≤≤，所以令1,2,4ijk，则2M．20.解：（Ⅰ）直线AB的方程：22yx联立22222214yxxymm消去y得222210xxm由248(1)0m得212m又0m22m（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或ABC在椭圆内时，两者便无公共点①当椭圆C在直线AB的左下方时248(1)0m解得202m②当且当点(1,2)C在椭圆内时，ABC在椭圆内221414mm又0m2m综上所述，当202m或2m时，椭圆与C无公共点（3）由（2）可知当222m时，椭圆C与ABC相交于不同的两个点,MN又因为当1m时，椭圆C方程为2214yx，此时椭圆恰好过点,AB①当212m时，,MN在线段,AB上，此时1ABCSS当且仅当,MN分别与,AB重合时等号成立②当12m时，点,MN分别在线段,BCAC上易得2(1,2)Mm，2(1,21)NmOBMOANMNCOACBSSSSS矩形22221211(11)(221)2mmmm222221(11)mm令21tm则01t211St综上可得OMN面积S的最大值为121.解：（Ⅰ）由题意，得PQ＝50－50cos．从而，当＝23时，PQ＝50－50cos23＝75．即点P距地面的高度为75m．（Ⅱ）由题意，得AQ＝50sin，从而MQ＝60－50sin，NQ＝300－50sin．又PQ＝50－50cos，所以tanNPQ＝NQPQ＝6－sin1－cos，tanMPQ＝MQPQ＝6－5sin5－5cos．从而y=tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝6－sin1－cos－6－5sin5－5cos1＋6－sin1－cos×6－5sin5－5cos＝12(1－cos)23－18sin－5cos．令g()＝12(1－cos)23－18sin－5cos，∈(0，π)，则g()＝12×18(sin＋cos－1)(23－18sin－5cos)2由g()＝0，得sin＋cos－1＝0，解得＝2．当∈(0，2)时，g()＞0，g()为增函数；当∈(2，)时，g()＜0，g()为减函数，所以，当＝2时，g()有极大值，也为最大值．即当＝2时，y取得最大值．22.解：（Ⅰ）''1()2,(),(1,0)fxxagxNx∴21,(),(3)6afxxxf，（Ⅱ）