高考数学压轴题跟踪演练系列一

江苏省备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列一-------------------------------------------------------------------------------------1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l过点3,0P，交抛物线于,AB两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为220ypxp，将1,2M代入方程得2p24yx抛物线方程为:………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为211,0,1,0,FFc=1…………………（2分）对于椭圆，222122112114222aMFMF222222212123222221322222aabacxy椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，122222aMFMF222222213222221322222aabcaxy双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP的中点为C，l的方程为：xa，以AP为直径的圆交l于,DE两点，DE中点为H令11113,,,22xyAxyC………………………………………………（7分）22111111322312322DCAPxyxCHaxa2222221112121132344-2324622222DHDCCHxyxaaxaaaDHDEDHlx当时,为定值;为定值此时的方程为：…………（12分）2．（14分）已知正项数列na中，16a，点1,nnnAaa在抛物线21yx上；数列nb中，点,nnBnb在过点0,1，以方向向量为1,2的直线上.（Ⅰ）求数列,nnab的通项公式；（Ⅱ）若nnafnb,n为奇数,n为偶数，问是否存在kN，使274fkfk成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式11202111111nnnnaanabbb成立，求正数a的取值范围.解：（Ⅰ）将点1,nnnAaa代入21yx中得11111115:21,21nnnnnnaaaadaannlyxbn直线…………………………………………（4分）（Ⅱ）521nfnn,n为奇数,n为偶数………………………………（5分）27274275421,42735227145,24kkfkfkkkkkkkkkk当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。……………………（8分）（Ⅲ）由11202111111nnnnaanabbb1212121111111112311111112311111111112512312324241232525nnnnnabbbnfnbbbnfnbbbbnfnnnnnfnbnnn即记22min2523416161416151,14451,315545015nnnnnnfnfnfnfnfa即递增，………………………………（14分）3.（本小题满分12分）将圆O:4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1)求C的方程;(2)设O为坐标原点,过点)0,3(F的直线l与C交于A、B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证:ON2OE的充要条件是3|AB|.解:(1)设点)y,x(P,点M的坐标为)y,x(,由题意可知,y2y,xx………………(2分)又,4yx22∴1y4x4y4x2222.所以,点M的轨迹C的方程为1y4x22.………………(4分)(2)设点)y,x(A11,)y,x(B22,点N的坐标为)y,x(00,㈠当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,不合题意,舍去;………………(5分)㈡设直线l:,3myx由4y4x3myx22消去x,得01my32y)4m(22………………①∴,4mm3y20………………(6分)∴4m344m34m34mm33myx2222200,∴点N的坐标为)4mm3,4m34(22.………………(8分)①若OEON2,坐标为,则点E的为)4mm32,4m38(22,由点E在曲线C上,得1)4m(m12)4m(4822222,即,032m4m24∴4m(8m22舍去).由方程①得,14m1m44m16m4m12|yy|2222221又|,)yy(m||mymy||xx|212121∴3|yy|1m|AB|212.………………(10分)②若3|AB|,由①得,34m)1m(422∴.8m2∴点N的坐标为)66,33(,射线ON方程为:)0x(x22y,由4y4x)0x(x22y22解得36y332x∴点E的坐标为),36,332(∴OEON2.综上,OEON2的充要条件是3|AB|.………………(12分)4.（本小题满分14分）已知函数241)x(fx)Rx(.(1)试证函数)x(f的图象关于点)41,21(对称;(2)若数列}a{n的通项公式为)m,,2,1n,Nm()mn(fan,求数列}a{n的前m项和;Sm(3)设数列}b{n满足:31b1,n2n1nbbb.设1b11b11b1Tn21n.若(2)中的nS满足对任意不小于2的正整数n,nnTS恒成立,试求m的最大值.解:(1)设点)y,x(P000是函数)x(f的图象上任意一点,其关于点)41,21(的对称点为)y,x(P.由412yy212xx00得.y21y,x1x00所以,点P的坐标为P)y21,x1(00.………………(2分)由点)y,x(P000在函数)x(f的图象上,得241y0x0.∵,)24(244244241)x1(f00000xxxxx1024121y210x0,)24(2400xx∴点P)y21,x1(00在函数)x(f的图象上.∴函数)x(f的图象关于点)41,21(对称.………………(4分)(2)由(1)可知,21)x1(f)x(f,所以)1mk1(21)mk1(f)mk(f,即,21aa,21)mkm(f)mk(fkmk………………(6分)由m1m321maaaaaS,………………①得,aaaaaSm13m2m1mm………………②由①＋②,得,612m61221ma221)1m(S2mm∴).1m3(121Sm………………(8分)(3)∵,31b1)1b(bbbbnnn2n1n,………………③∴对任意的0b,Nnn.………………④由③、④,得,1b1b1)1b(b1b1nnnn1n即1nnnb1b11b1.∴1n1n11nn3221nb13b1b1)b1b1()b1b1()b1b1(T.……………(10分)∵,bb,0bbbn1n2nn1n∴数列}b{n是单调递增数列.∴nT关于n递增.当2n,且Nn时,2nTT.∵,8152)194(94b,94)131(31b,31b321∴.5275b13TT12n………………(12分)∴,5275Sm即,5275)1m3(121∴,394639238m∴m的最大值为6.……………(14分)5．（12分）E、F是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点.（1）当AEAF时，求AEF的面积；（2）当3AB时，求AFBF的大小；（3）求EPF的最大值.解：（1）2241282AEFmnSmnmn（2）因484AEAFABAFBFBEBF，则5.AFBF（1）设(22,)(0)Ptt()tanEPFtanEPMFPM22132232222223()(1)663ttttttt，当6t时，3303tanEPFEPF6．（14分）已知数列na中，113a，当2n时，其前n项和nS满足2221nnnSaS，（2）求nS的表达式及2limnnnaS的值；（3）求数列na的通项公式；（4）设3311(21)(21)nbnn，求证：当nN且2n时，nnab.解：（1）2111121122(2)21nnnnnnnnnnnSaSSSSSSnSSSMFEOyABPx所以1nS是等差数列.则121nSn.222limlim2212lim1nnnnnnnaSSS.（2）当2n时，12112212141nnnaSSnnn，综上，21132214nnann.（3）令11,2121abnn，当2n时，有103ba（1）法1：等价于求证33111121212121nnnn.当2n时，110,213n令231,0,3fxxxx23313232(1)2(1)2(1)02223fxxxxxxx，则fx在1(0,]3递增.又111021213nn，所以3311()(),2121ggnn即nnab.法（2）2233331111()()2121(21)(21)nnabbabannnn22()()abababab（2）22()[()()]22abababaabb()[(1)(1)]22baabaabb（3）因333111110222223ababa，所以(1)(1)022baaabb由（1）（3）（4）知nnab.法3：令22gbababab，则12102agbbab所以220,,32gbmaxggamaxaaaa因10,3a则210aaaa，2214323()3()0339aaaaa所以220gbababab（5）由（1）（2）（5）知nnab7．(本小题满分14分)设双曲线2222byax=1(a0,b0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个