高考数学压轴题跟踪演练系列三

江苏省备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列三-------------------------------------------------------------------------------------1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线，渐近线，……3分（II）双曲线C的方程为：……7分（III）由题意可得……8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分，得的取值范围是（0，1）……13分2．（本小题满分13分）已知函数，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：（I）……1分……将这n个式子相加，得……3分（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分（IV）设，即则显然，其极限存在，并且……10分注：（c为非零常数），等都能使存在.19.（本小题满分14分）设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I），渐近线方程为4分（II）设，AB的中点2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()ABFFABFFcxxyyyxyxxxxyyyyyxxyyxxyyxx又，，，，则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线设由（i）（ii）得∴k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3.（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.（I）求证数列是等比数列；（II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？解：（I）由已知（2）由得：，即对任意都成立（II）当时，由题意知，13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过FQA,,三点的圆恰好与直线l：033yx相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0cFxQ其中),0(,22bAbac．由P分AQ所成的比为8∶5，得)135,138(0bxP，2分∴axax231)135()138(022202．①，4分而AQFAbxAQbcFA),,(),,(0，∴0AQFA．cbxbcx2020,0．②，5分由①②知0232,32222aaccacb．∴21.02322eee．6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22ccbO，)0,(,2222222cOccccaccb，8分圆半径acacbr22222．10分由圆与直线l：033yx相切得，ac2|3|，又3,2,1,2bacca．∴椭圆方程为13422yx．12分5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．（理）解：设na公差为d，则1111,aandndaann．3分dnanndadaaaaaynnnnnnn)21()1()()(11111221dnnann2)1()1(14分)2)(1()2)(1(1111aaanndannnn)3(2111aann．7分又211211,nnababaa．∴449449)23(332112111bbabaaaannnn，当且仅当231na时，等号成立．11分∴8)49)(1()3(2111bnaanyn．13分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny，∴y的最大值为8)49)(1(bn．14分（文）解：设na公差为d，则1111,aandndaann．3分)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221ndandnnandnanndadaaaaaynnnnnnnnn)3(21)2)(1(11111aanaaannnn，6分又211211,nnababaa．∴449449)23(332112111bbabaaaannnn．当且仅当231na时，等号成立．11分∴8)49)(1()3(2111bnaanyn．13分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny．∴y的最大值为8)49)(1(bn．14分6．（本小题满分12分）垂直于x轴的直线交双曲线2222yx于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（Ⅰ）证明：;22020为定值yx（Ⅱ）过P作斜率为002yx的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111AAyxNyxM则设)2(2111xxyyMA的方程为直线①直线A2N的方程为)2(211xxyy②……4分①×②，得)2(2221212xxyy分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121yxNAMAyxPyxxyyx（Ⅱ）02222),(20020200000yyxxyxxxyxyyl整理得结合的方程为202020201222242yyyxd于是……10分112211222020202020ydyyyx当1,1,1200取最小值时dyy……12分7．（本小题满分14分）已知函数xxxfsin)(（Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数xfx（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xfxffx求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xfxffZkkkkkx与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos1)(,),0(xfxxfx分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(xfxffxffxf（Ⅱ）设)32(3)()(2)(xfxffxg，32sin3sin)(2)(xxfxg即)32coscos(31)(xxxg……6分xxgxx得由,0)(),0(32),0(],,0[.)(,0)(,),0(为减函数时当xgxgx分为增函数时当8)(,0)(,),(xgxgx分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(xfxffgxgxxggxg（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时)32(3)()(2xfxff当k为奇数时)32(3)()(2xfxff……14分