北京市西城区2014-2015学年高一下学期数学期末试卷及答案

北京市西城区2014－2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块3]本卷满分：50分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分。共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为P1，P2，P3，则（）A.P1=P2P3B.P2=P3P1C.P1=P3P2D.P1=P2=P32.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A.61B.41C.31D.213.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.23C.35D.584.某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（）A.24B.18C.15D.125.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}。设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A.A，C为对立事件B.A，B为对立事件C.A，C为互斥事件，但不是对立事件D.A，B为互斥事件，但不是对立事件6.下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图。设1，2两组数据的平均数依次为1x和2x，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=2n2221)xx()xx()xx[(n1，其中1x为x1，x2，…，xn的平均数）A.1x2x，s1s2B.1x2x，s1s2C.1x2x，s1s2D.1x2x，s1s27.下图给出的是计算100181614121的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（）A.i50B.i50C.i51D.i518.袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球。设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A.52B.53C.32D.109二、解答题：本大题共2小题，共18分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9.（本小题满分9分）从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率1[5，6）20.042[6，7）0.203[7，8）a4[8，9）b5[9，10）0.16（I）求n的值；（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替。若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率。10.（本小题满分9分）已知关于x的一元二次方程x2－2ax+b2=0，其中a，bR。（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率;（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率。B卷[学期综合]本卷满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.数列{an）满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4=（）A.10B.8C.－8D.－102.设a，bR，且ab，则下列结论中正确的是（）A.balB.a1b1C.abD.a3b33.在等比数列{an}中，a1=2，a4=41。若am=2－15，则m=（）A.17B.16C.14D.134.若实数x，y满足,03yx2,0y,yx则z=x+3y的最大值是（）A.6B.4C.23D.05.在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn。若S2k+10，则一定有（）A.ak0B.Sk0C.ak+l0D.Sk+l07.已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=2n－c，其中c为常数，n∈N*。若a4=3，则c=（）A.4B.3C.2D.18.设不等式组020y7x5,0y4x3,0y3x2表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）A.231B.230C.219D.218二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。9.不等式x22x的解集为_____________。10.在△ABC中，若a=1，b=2，cosC=41，则c=_____________。11.已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是_________。12.函数f（x）=x+1x1（x1）的最小值是_____________；此时x=_____________。13.设a∈R，n∈N*，求和：l+a+a2+a3+…+an=_____________。14.设数列{an}的通项公式为an=3n（n∈N*）。数列{bn}定义如下：对任意m∈N*，bm是数列{an}中不大于32m的项的个数，则b3=_____________；数列{bm}的前m项和Sm=_____________。三、解答题：本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分10分）已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列。（I）证明：当0q1时，{an}是递减数列；（II）若对任意k∈N*，都有ak，ak+2，ak+1成等差数列，求q的值。16.（本小题满分10分）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a=2csinA。（I）求角C；（II）当c=23时，求：△ABC面积的最大值。17.（本小题满分12分）设mR，不等式mx2－（3m+1）x+2（m+1）0的解集记为集合P。（I）若P=（x－1x2），求m的值；（Ⅱ）当m0时，求集合P；（III）若{x－3x2}P，求m的取值范围。18.（本小题满分12分）已知数列{an}的通项公式为an=2n+（－1）n+1·（1+n），其中是常数，n∈N*。（I）当an=－1时，求的值；（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列?证明你的结论；（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有an0，求的取值范围。参考答案A卷[必修模块3]本卷满分：50分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。1.D2.C3.C4.B5.C6.A7.B8.D二、解答题：本大题共2小题，共18分。9.（本小题满分9分）（I）解：n=5004.021分（II）解：补全数据见下表（3分）；组号分组频数频率1[5，6）20.042[6，7）100.203[7，8）100.204[8，9）200.405[9，10）80.16频率分布直方图见下图：5分（III）解：依题意，得,508102,84.7)5.985.85.75.6105.52(501baba7分解得,15,15ba8分设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，则P（A）=46.0502350815。9分10.（本小题满分9分）（I）解：设“关于x的一元二次方程x2－2ax+b2=0有实根”为事件A，由0b4)a2(22，得22ba。因为a≥0，b≥0，所以a≥b时事件A发生。（I）的基本事件共20个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）3分事件A包含14个基本事件，4分所以P（A）=1072014。5分（II）解：因为]3,0[b],4,0[a,则试验的全部结果构成区域={（a,b）0≤a≤4,0≤a≤4,0≤b≤3},的面积为12436分事件A所构成的区域A={（a,b）0≤a≤4,0≤b≤3,a≥b}，A的面积为215332143A。8分所以P（A）=8512215A。9分B卷[学期综合]满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。1.C2.D3.A4.B5.B6.C7.A8.A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。9.{x0x2}；10.211.612.3，213..1a,a1a1,1a,1n1n14.243，)19(83m。注：12、14题，每空2分；13题少解给2分，有错解不得分。三、解答题：本大题共4小题，共44分。15.（本小题满分10分）（I）证明：因为数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，所以an=qn－1,*Nn。1分所以an+1－an=qn－qn－1=qn－1（q－1）3分当0q1时，有qn－10,q－10,所以an+1－an0,*Nn。5分所以{an}是递减数列。（II）解：因为ak，ak+2,ak+1成等差数列，所以2ak+2－（ak+ak+1）=0,其中*Nk。6分即2qk+1－（qk－1+qk）=0,整理得0)1qq2(q21k。7分因为q≠0,所以2q2－q－1=0,8分解得q=1,或q=21。10分16.（本小题满分10分）（I）解：由正弦定理得CsincAsina，1分将已知代入得sinC=23。2分因为△ABC为锐角三角形，所以0C2,3分所以C=3。4分（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b2－2abcosC,5分即12=a2+b2－ab,6分又a2+b2－ab≥2ab－ab=ab所以ab≤12。8分所以△ABC的面积S=21absinC=43ab≤33,9分当且仅当a=b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到33。所以△ABC面积的最大值为33。10分17.（本小题满分12分）（I）解：因为P={x－1x2},所以方程mx2－（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为－1和2。1分将x=－1代入上述方程，得m（－1）2－（3m+1）（－1）+2（m+1）=0,2分解得m=21。3分（II）解：不等式mx2－（3x+1）x+2（2m+1）0可化为（x－2）[mx－（m+1）]0。4分当m0时，方程m（－1）2－（3m+1）（－1）+2（m+1）=0的两根为21m和2①当m1m=2，即m=1时，解得x≠2。5分②当m1m2，即0m1时，解得x2或xm1m。6分③当m1m2，即m1时，解得xm1m或x2。7分综上，当0m1时，P={xx2或xm1m}；当m=1时，P={xxR，且x≠2}；当m1时，P={xxm1m或x2}。（III）解：依题意，当x)2,3(时，不等式mx2－（3m+1）x+2（m+1）0恒成立。当m=0时，原不等式化为－x+20，即P={xx2}，适合题意。8分当m0时，由（II）可得0m≤1时，适合题意。9分当m0时，因为m1m=1+2m1，所以P={xm1mx2}。10分此时必有m1m≤－3成立，解得0m41。11分综上，若{x－3x2}P，则m的取值范围是[1,41]。12分18.（本小题满分12分）（I）解：因为an=2n+（－1）n+1)Nn)(n1(*，所以n=2时，a2=3－2。1分由3－2=－1，解得=2。2分（II）解：数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由an=2n+（－1）n+1)Nn)(n1(*，得a1=3+，a2