广东省高州市分界中学2011届高三年级11月考数学试题（理科）

2-2O62xy广东省高州市分界中学2011届高三年级11月考数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分,共40分）1．若对任意xR，不等式xax≥恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1aB．1a≤C．1aD．1a≥2．椭圆2241xy的离心率为（）A．32B．34C．22D．233．设方程20xpxq的解集为A，方程20xqxp的解集为B,若1AB，则p+q=（）A．２B．０C．１D．－１4．如图，正方形AB1B2B3中，C，D分别是B1B2和B2B3的中点，现沿AC，AD及CD把这个正方形折成一个四面体，使B1，B2，B3三点重合，重合后的点记为B，则四面体A—BCD中，互相垂直的面共有（）A．4对B．3对C．2对D．1对5．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000B．4096C．5904D．83206．对于R上可导的任意函数()fx，若满足(1)()0xfx≥，则必有（）A．(0)(2)2(1)fffB．(0)(2)2(1)fffC．(0)(2)2(1)fff≤D．(0)(2)2(1)fff≥7．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域()100Axyxyxy，≤，且≥，≥，则平面区域()()BxyxyxyA，，的面积为（）A．2B．1C．12D．148．设2()lg1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是（）A．(10)，B．(01)，C．(0)，D．(0)(1)，，二、填空题：（每小题5分,共30分）9．函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图象如图所示，则()fxACDB3B2B110．若向量a、b的坐标满足a)1,2(b，a)3,4(b，则a·b等于11．22023xxdx。12．等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为．选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分．13．过点A（2,3）的直线的参数方程232xttyt为参数，若此直线与直线30xy相交于点B，则AB＝。14．如图3，⊙O和⊙'O都经过A、B两点，AC是⊙'O的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙'O于点D，若BC=2，BD=6，则AB的长为15．设1xyz，则22223Fxyz的最小值为_____________。三、解答题：16．（本小题满分12分）已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．17．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．18．（本小题满分14分）设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．ABCPQOxyl19．（本题满分14分）如图，已知1111ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC．（1）求证：1EBFD，，，四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF⊥，垂足为H，求证：EM⊥平面11BCCB；（4分）（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCCB所成的锐二面角的大小，求tan．（4分）20．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OAOB，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．（Ⅰ）当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()fx的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．CBAGHMDEF1B1A1D1C参考答案一、选择题（每小题5分,共40分）题序12345678答案BACCCBBA二、填空题（每小题5分，共30分）：9．__2sin4x_________；10．___-5________；11．______43________；12．______13__________；13．________25_____；14．________32____________；15．________611_____________三、解答题：16．（Ⅰ）解：π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．因此，函数()fx的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()2sin24fxx在区间π3π88，上为增函数，在区间3π3π84，上为减函数，又π08f，3π28f，3π3πππ2sin2cos14244f，故函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为1．17．解：（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA012122()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p．解得120.20.2pp，（舍去）．（2）的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故2802100C316(0)C495P．1180202100CC160(1)C495P．2202100C19(2)C495P．所以的分布列为012P3164951604951949518．解：（Ⅰ）211233333nnnaaaa…，①当2n≥时，22123113333nnnaaaa…．②①-②得1133nna，13nna．在①中，令1n，得113a．13nna．（Ⅱ）nnnba，3nnbn．23323333nnSn…，③23413323333nnSn…．④④-③得12323(3333)nnnSn…．即13(13)2313nnnSn，1(21)3344nnnS．19．（1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND．因为AEDN∥，1NDCF∥，所以四边形ADNE，1CFDN都为平行四边形．从而ENAD∥，1FDCN∥．又因为ADBC∥，所以ENBC∥，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE∥，从而1FDBE∥．因此，1EBFD，，，四点共面．（2）如图，GMBF⊥，又BMBC⊥，所以BGMCFB∠∠，tantanBMBGBGMBGCFB∠∠23132BCBGCF．因为AEBM∥，所以ABME为平行四边形，从而ABEM∥．又AB⊥平面11BCCB，所以EM⊥平面11BCCB．（3）如图，连结EH．因为MHBF⊥，EMBF⊥，所以BF⊥平面EMH，得EHBF⊥．于是EHM∠是所求的二面角的平面角，即EHM∠．因为MBHCFB∠∠，所以sinsinMHBMMBHBMCFB∠∠22223311332BCBMBCCF，tan13EMMH．解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE，，，(032)BF，，，1(333)BD，，，所以1BDBEBF，故1BD，BE，BF共面．CBAGHMDEF1B1A1D1CN又它们有公共点B，所以1EBFD，，，四点共面．（2）如图，设(00)Mz，，，则203GMz，，，而(032)BF，，，由题设得23203GMBFz，得1z．因为(001)M，，，(301)E，，，有(300)ME，，，又1(003)BB，，，(030)BC，，，所以10MEBB，0MEBC，从而1MEBB⊥，MEBC⊥．故ME⊥平面11BCCB．（3）设向量(3)BPxy，，⊥截面1EBFD，于是BPBE⊥，BPBF⊥．而(301)BE，，，(032)BF，，，得330BPBEx，360BPBFy，解得1x，2y，所以(123)BP，，．又(300)BA，，⊥平面11BCCB，所以BP和BA的夹角等于或π（为锐角）．于是1cos14BPBABPBA．故tan13．20．解：（1）设直线AB的方程为ykxc，将该方程代入2yx得20xkxc．令2()Aaa，，2()Bbb，，则abc．因为2222OAOBababcc，解得2c，或1c（舍去）．故2c．（2）由题意知2abQc，，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababa．CBAGHMDEF1B1A1D1CzyxABCPQOxyl又2yx的导数为2yx，所以点A处切线的斜率为2a，因此，AQ为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Qxc，．若AQ为该抛物线的切线，则2AQka，又直线AQ的斜率为2200AQacaabkaxax，所以202aabaax，得202axaab，因0a，有02abx．故点P的横坐标为2ab，即P点是线段AB的中点．21．解：（Ⅰ）由题意知，()fx的定义域为(1)，，322()211bxxbfxxxx设2()22gxxxb，其图象的对称轴为1(1)2x，，max11()22gxgb．当12b时，max1()02gxb，即2()230gxxxb在(1)，上恒成立，当(1)x，时，()0fx，当12b时，函数()fx在定义域(1)，上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b时，函数()fx无极值点．②12b时，3122()01xfxx有两个相同的解12x，112x，时，()0fx，12x，时，()0fx，12b时，函数()fx在(1)，上无极值点．③当12b时，()0fx有两个不同解，11122bx，21122bx，0b时，111212bx，211202bx，即1(1)x，，21x，．0b时，()fx，()fx随x的变化情况如下表：x1(1)x，1x2()x，()fx0()fx极小值由此表可知：0b时，()fx有惟一极小值点11122bx，当102b时，111212bx，12(1)xx，，此时，()fx，()fx随x的变化情况如下表：x1(1)x，1x12()xx，1x1