湖北省黄梅一中09-10学年高二上学期期中考试（数学理）

二○○九年秋季高二年级期中考试数学（理）试题命题人：项欣审题人：蔡圣兵（本试卷共150分考试用时120分钟。）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）1、经过点)3,2(，且方向向量)34,31(n的直线方程为（）A.054yxB.054yxC.0144yxD.0104yx2、已知动点),(yxP满足1143)2()1(522yxyx，则P点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆3、在直角坐标系中，方程02312yxxyx所表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条线段和一个圆C．一条直线和半个圆D．一条线段和半个圆4、能够使得圆014222yxyx上恰好有两个点到直线02cyx的距离等于1的一个C值为（）A．2B．5C．3D．535、若双曲线22221xyab的离心率为54，则两条渐近线的方程为（）A．0169yxB．0916yxC．043yxD．034yx6、设21,FF是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，以1F为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线MF2与圆1F相切，则该椭圆的离心率是（）A．32B．13C．23D．227、过双曲线1222yx的右焦点F作直线l交双曲线于BA,两点，若3AB，则这样的直线l有（）条。A．1B．2C．3D．4ABCD8、设双曲线)0(12222babyax的半焦距为c，直线L过),0(),0,(ba两点，已知原点到直线L的距离为c43，则双曲线的离心率为（）A．2B．2或233C．2D．2339、已知关于t的方程20ttxy有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)Pxy在坐标平面内所对应的区域的图形大致是（）10、抛物线xy42的焦点为F，点BA,在抛物线上，且32AFB，弦AB中点M在准线l上的射影为||||,ABMMM则的最大值为（）A．334B．33C．332D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、直线l：)(01122Rayaax的倾斜角的取值范围是．12、已知直线1l：02yx，2l：047yx，则1l与2l夹角的平分线方程为．13、过函数y=294xx的图象的对称中心，且和抛物线xy82有且只有一个公共点的直线的条数共有条．14、已知圆4)3(22yx和直线mxy的交点分别为QP,两点，O为坐标原点，则OQOP的值为．15、设3|),(xyyxA，为常数bbxyyxB,2|),(，BA，则（1）b的取值范围是．（2）设BAyxP),(，点T的坐标为（1，3），若OP在OT方向上投影的最小值为35，则b的值为．二○○九年秋季高二年级期中考试数学（理）试题答题卡二、填空题11、12、13、14、15、三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明或演算步骤）16、若直线l过点P（2，3）并与圆1)2()1(22yx相切，求直线l的方程．17、已知双曲线1222yx，问过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．18、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上,离心率为23，两个焦点分别为1F和2F，椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12，圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA．（1）求椭圆G的方程；（2）求21FFAk的面积．19、过双曲线C：122yx的右焦点2F的直线与右支交于A、B两点，且线段A2F、B2F的长度分别为m、n．求证：mnnm2．20、已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e，直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB．（1）证明：λ＝1－e2；（2）若43，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．21、已知直线1:kkxyl，抛物线xyC4:2，定点M（1，1）．（1）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；（2）当)0(kk变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x0，y0），求x0关于k的函数关系式)(0kfx；若P与M重合时，求0x的取值范围。二○○九年秋季高二年级期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题题号12345678910答案AADCCBBDAB二、填空题11、]43,4[12、0326yx13、214、515、3b－10三、解答题16、（10分）解：（1）若直线l的斜率存在，设为)2(3:xkyl，因为直线l与圆1)2()1(22yx相切，所以11|5|2kk．所以512k．所以直线l的方程为)2(5123xy，即09512yx………………………………………………………………………6分（2）若直线l的斜率不存在，则直线l：2x也符合要求．所以直线l的方程为09512yx或2x．………………………………10分17、（12分）解：设符合题意的直线l存在，并设),(21xxP、),(22yxQ则)2(12)1(1222222121yxyx（1）)2(得))((2121xxxx)3())((212121yyyy………3分因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以)5(2)4(22121yyxx,将(4)、(5)代入（3）得)(212121yyxx，则直线l的斜率22121xxyyk所以12xy……………8分又121222yxxy得03422xx但此时08,说明所求直线不存在。…………………………………………………………12分18、（12分)（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.……………………………………………………6分(2)点KA的坐标为,2K362||212121FFSFFAK……………………………………………………………12分19、（12分）①当直线AB的斜率不存在时，A（1,2），B（1,2），∴m=n=1∴mnnm2……………2分②当直线AB的斜率存在时，记双曲线的右准线为l，作lAA1于1A，作lBB1于1B，作1AABK于K，又记BK交x轴于M点，l交轴于C，yxoBMKAF2FC1A1B在△ABC中1112112222BBAABBCFKAAACMCFBABFAKMFBABF①…………………6分又由双曲线第二定义有mAAnBBAAAFeBBBF22,222111212∴①式即为mnnmnmnnmn222222222………………………………………12分（亦可直接设直线方程计算得到）20、（14分）（1）证：因为A、B分别是直线l：aexy与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是).,0(),0,(aea设M的坐标是),,(),(),,(0000aeayeaxABAMyx得由所以.)1(00ayeax因为点M在椭圆上，所以,1220220byax即.11)1(,1)()]1([22222222eebaaea所以,0)1()1(2224ee解得.1122ee即…………………………4分（2）当43时，21c，所以.2ca由△MF1F2的周长为6，得.622ca所以.3,1,2222cabca椭圆方程为.13422yx…………………………8分（3）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.||211cPF设点F1到l的距离为d，由,1||1|0)(|||21221ceecaeacedPF得.1122eee所以.321,3122ee于是即当,32时△PF1F2为等腰三角形.……………………………………………………14分解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是),(00yx，则.1)1(2,13.220102202200000eaeyceexacxeyecxy解得由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222ceaecece两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222eee从而.321,3122ee于是即当32时，△PF1F2为等腰三角形.…………14分21、（14分）（1）由焦点F（1，0）在l上，得2121:,21xylk设点N（m，n）则有：1212211)21)(11(nmmn，解得5351nm，)53,51(N,)53(542N点不在抛物线C上。………………………………6分（2）把直线方程)0(11kkkyx代入抛物线方程得：,04442kyky122111.0251251,0)1(16,00002kaxkykaxykkkk由对称得且解得相交解得)0,251251(12)1(2220kkkkkax且。………………12分当P与M重合时，a=1分时当时单调递减且是偶函数函数且14)1,5525[,1lim,5525)(,251.0,))((),0,251251(143131)(000min002220xxxkkRkxfxkkkkkxkfk