【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理章末归纳总结课件 北师大版选修2-3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3计数原理第一章章末归纳总结第一章专题研究3知识梳理1知识结构2即时训练4知识梳理排列与组合，以计数问题为特征，是组合数学的最初步的知识，内容独特，应用广泛，是学习概率与统计知识的预备知识．而且思想方法较为独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材．教材首先研究了分类与分步计数原理，并将原理的应用贯穿于全章学习的始终．两个原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法：将问题分类和分步解决；教材以两个基本原理为基础，介绍了排列、组合的概念，排列数公式、组合数公式及其在计算问题上的应用；然后运用分步计数原理推导了二项式定理，同时通过研究二项式系数的性质深化对组合数的认识．1．两个计数原理与排列、组合两个原理不仅是推导排列数公式与组合数公式的基础，而且应用贯穿本章的始终，两个原理的区别在于：分类计数原理与分类有关，分步计数原理与分步有关．排列与组合主要研究从不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题，区别二者的关键是看是否与顺序有关．2．排列与组合的主要公式(1)排列数公式：Amn＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)(m≤n)，Amn＝n！n－m！(m≤n)，特别地Ann＝n！＝n(n－1)·(n－2)·…·2·1.(2)组合数公式：Cmn＝nn－1·n－2·…·n－m＋1m！＝n！m！n－m！(3)组合数性质：Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.3．二项式定理及二项式系数的性质(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－r·br＋…＋Cnnbn(n∈N*)．其中Crn叫二项式系数，Tr＋1＝Crnan－rbr叫通项公式．(2)二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．②增减性与最大值：当kn＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．③各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.4．学习本章内容时，需注意如下问题对于一些易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与项的系数等，应弄清它们之间的联系与区别．注意体会解决本章应用题的思考方法，正向思考时要善于将稍复杂的问题进行分解，有些问题的解决还要注意运用逆向思考的方法．5．本章所用思想方法(1)分类整合的思想．利用分类加法计数原理分析、解决问题的实质就是分类讨论，另外在解决有关“至多”、“至少”问题时，求排列、组合种数时，都会用到分类讨沦的思想，因此学习时应仔细体会本部分知识体现的这种思想．(2)方程的思想．有关排列数、组合数的计算体现了这种思想．(3)数形结合的思想．本章知识较为抽象，常需结合列表、画树形图等方法较为形象地分析问题．(4)直接法、间接法．对元素分类后可用直接法处理，从反面考虑则用间接法(或排除法)处理．(5)模型方法．如间隔排列、整体排列、定序问题、投信问题等的模型，能够实现模型转化，使问题得解．(6)赋值法．在(a＋b)n的二项展开式中，通过给a、b赋不同的值，可解决一些证明问题和求系数和的问题．(7)构造法．根据题目特点构造二项式或多项式，证明有关的组合恒等式．知识结构专题研究将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步．(1)正确分类或分步，恰当选择两个计数原理．(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”．而排列组合讨论的问题共同点是“元素不相同”，不同点是排列与顺序有关，组合与顺序无关．1．特殊元素特殊位置“优先安排法”对于带有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素．排列与组合应用题求解策略有1、2、3、4、5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有________个．[解析]解析一：本题1和3可视为特殊元素，万位和百位被视为特殊位置．若以元素为主考虑，应先满足特殊元素1和3，分3类：(1)1和3都排在千、十、、个位上，有A23·A33个；(2)1和3只有一个排在千，十，个位上，有C12·C13·A33个；(3)1和3都不排在千，十，个位上，此时3必排在万位上，1必排在百位上，有A33个．根据加法原理，共有A23·A33＋C12·C13·A33＋A33＝78(个)。解法二：若以位置为主考虑，先满足特殊的位置万位和百位，分两类：(1)万位排3，有A44个；(2)万位排2,4,5中的一个，余下的两数和1取一个排在百位、千、十、个位排余下的三个数，有C13·C13·A33个，所以共有A44＋A13·A13·A33＝78(个)．[答案]782．总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279[解析]由0,1,2，…，9可以排成的所有三位数为C19C110C110，其中不含重复数字的为C19C19C18，故满足条件的三位数为C19C110C110－C19C19C18＝900－648＝252(个)．[答案]B3．合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏．将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有()A．120种B．96种C．78种D．72种[解析]由题意，可先安排a列车，并按其进行分类讨论：①若a列车停在第二轨道上，则剩下四列车可自由停放，有A44种方法；②若a列车停在第三或第四或第五轨道上，则根据分步计数原理有A13×A13×A33种停法，再根据分类计数原理，不同的停放方法共有A44＋A13×A13×A33＝78种．[答案]C4．混合应用问题“先选后排法”对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)[解析]本小题主要考查有限制条件的排列组合问题．直接法：先从另外3人中选1人担任文娱委员，有C13种，其余不再有限制条件，则有A24种，所以共有C13A24种．间接法：先全排有A35种，现除去甲、乙担任文娱委员的2A24种即A35－2A24＝36(种)．[答案]365．相邻问题“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素与其他元素排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列．A、B、C、D四人排成一排，A、B必须相邻的排法有________种．[解析]将A，B捆绑起来看作一个元素，与其他三人进行排列，有A33种排法，而A、B之间又有A22种排法，故满足条件的排法共有A33·A22＝12(种)．[答案]126．不相邻问题“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可．7个人站成一排照相，要求甲、乙、丙两两不相邻有多少种排法？[解析]先让其余4人站好，有A44种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有A35种方法，这样共有A44·A35＝1440种不同的排法．[反思总结]对于某n个元素不相邻的排列问题可将其他元素排好，然后将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可，此为“插空法”．7．等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，或者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这时可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理．马路上有12只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有________种．[解析]关第一只灯的方法有10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂．若换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等价的“在9只亮灯产生的8个空当中插入3只暗灯”问题，故所求方法种数为C38＝56种．[答案]568．顺序固定问题用“除法”或“自动上位法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成1列，有________种不同的方法(用数字作答)．[解析]本题考查元素的不定序问题，属局部不定序．排成一列，有A99种排法，除去2红、3黄、4白的顺序即可．故有A99A22A33A44＝1260(种)．[答案]1260[反思总结]本题的易错点是没注意“同色球不加以区分”这一条件．另解：C29C37C44＝1260(种)．9．构造“隔板”模型法对相同元素的有序分组问题，可通过设计另一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题．高一年级7个班级要组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出一名，则不同的组成方式共有多少种？[解析]设7个班出的队员数分别为x1，x2，…，x7，则x1＋x2＋…＋x7＝10，即相当于在10个小方块之间的9个空白档中插入6块隔板将其分成7部分，故不同的组成方式为C69＝84(种)．[反思总结]本题还有其他很多不同的叙述方式，如：“某运输公司中有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，现要从这7个车队中抽出10辆车组成运输队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？”10．“小团体”问题“先整体后局部法”对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可先将小团体看作一个元素与其余元素排列，最后再进行小团体内部的排列．[例10]7人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好间隔2人的站法有多少种？[解析]甲、乙及间隔的2人组成一个“小团体”，这2人可从其余5人中任选出来，有C25种选法；这个小团体与其余3人共4个元素全排列有A44种方法，它的内部甲、乙两人有A22种站法，中间选的2人也有A22种站法，因而符合要求的站法共有C25A44A22A22＝960种.二项式定理及其应用二项式定理关键是掌握通项公式及展开规律，利用赋值法或待定系数法求解．1．利用通项公式求展开式的特定项或特定项的系数(2015·重庆理，12)x3＋12x5的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．[解析]由二项式定理得Tr＋1＝Cr5(x3)5－r(12x)r＝Cr512rx15－7r2当15－7r2＝8时，易得r＝2，故x8系数为C25(12)2＝52.[答案]522．二项式系数的性质的应用在二项式(x－1)11的展开式中，系数最小的项的系数为________(结果用数值表示)．[解析]根据二项式系数的性质，(x－1)11的展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项C511x6(－1)5，第七项C611x5(－1)6，所以得系数最小的项的系数为－C511＝－462.[答案]－462(2－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于()A．－26B．26C．－24D．24[解析]令x＝0，则有(2－2×0)6＝a0，∴a0＝26.再令x＝1，则有(2－2×1)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝0∴a1＋a2＋…＋a6＝0－a0＝－26[答案]A[反思总结]求展开式中各项系数的和的一个有效方法是赋值代入．3．利用二项式定理证明整除问题或近似计算求证：32n＋2－8n－9(n