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-1-习题课等差数列一、基础过关1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13＝________.3．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．4．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．5．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H(H为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列{an}中，a1＝－1，H＝2，则S2013＝______.6．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a10，d0，S4＝S8，则Sn0成立的最大自然数n为________．7．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S23＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式．8．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？二、能力提升9．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．10．在等差数列{an}中，a100，a110，且|a10|a11，Sn为{an}的前n项的和，则使Sn0成立的n的最小值为________．11．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是________．12．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a110，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．三、探究与拓展13．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn是其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．答案1．82.263.83d≤34．5或65．20116.11-2-7．解设等差数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋nn－2d及已知条件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)，①4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②由②得d＝2a1，代入①有a21＝49a1，解得a1＝0或a1＝49.当a1＝0时，d＝0，舍去．因此a1＝49，d＝89.故数列{an}的通项公式为an＝49＋(n－1)·89＝49(2n－1)．8．解在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝4m3－1.∵m、n∈N*，∴m＝3k(k∈N*)，又0m≤1000n≤100，解得0m≤75.∴03k≤75，∴0k≤25，∴k＝1,2,3，…，25，∴两个数列共有25个公共项．9．n2＋n10．2011．512．解(1)由S14＝98，a11＝0，得14a1＋14×132d＝98，a1＋10d＝0，a1＝20，d＝－2.因此数列的通项an＝22－2n.(2)由a1≥6，a110，S14≤77.-3-得a1≥6，a1＋10d0，14a1＋14×132d≤77，a1≥6，a1＋10d＞0，2a1＋13d≤11.即－2a1≤－12，①－2a1－20d＜0，②2a1＋13d≤11.③由②＋③得－7d11，即d－117.由①＋③得13d≤－1，即d≤－113.于是－117d≤－113.又∵d∈Z，∴d＝－1.将d＝－1代入②③两式得10a1≤12.又∵a1∈Z，∴a1＝11或a1＝12.∴所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n.13．解(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a22＋a23＝a24＋a25知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝na1＋nn－12d＝n2－6n.(2)因为amam＋1am＋2＝am＋2－am＋2－am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，故8am＋2为整数．又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.