高数下试卷分类解析-03微分方程

高数（下）分类解析-微分方程2011级八、（本题7分）求微分方程20yyy的通解解设yp，则dpypdy，原式即为20,0dpypppdy或0dpypdy由0dpypdy，分离变量dpdypy，两边积分dpdypy，1lnlnlnpyc即1cdypdxy，从而212,ydycdxycxc为通解（2,cc为任意常数）注：如果看出2xyyyyy，则计算过程会简单些！九、（本题7分）求微分方程222xyyye的通解解对应的齐次方程的特征方程为21,2248220,12rrri对照非齐次项的标准形式,0,1xmfxPxem不是特征根，故0k特解的待定形式为*kxxmyxQxeae，代入非齐次方程，得2a从而原方程的通解为12cossin2xxyecxcxe2010级一、5.设221233,3,3xyyxyxe都是方程22222266xxyxyxyx的解,则方程的通解为2123xycxce八、（本题6分）求微分方程sindyyxdxxx的通解解由非齐次线性微分方程的解的公式11lnlnsinsin1sincosdxdxxxxxxxxcxyeedxceedxcxdxcxxxxx九、（本题6分）求微分方程22xyyye的通解解对应的齐次方程的特征方程为2121210,2110,1,2rrrrrr对照非齐次项的标准形式,0,1xmfxPxem不是特征根，故0k特解的待定形式为*kxxmyxQxeae，代入非齐次方程，得1a从而原方程的通解为1212xxxycecee2009级八、[7分]求如下初值问题2111,10yyyyy的解。答案：1112xxyee九、[7分]求方程24xyye的通解答案：2221214xxxycecexe2008级十、[7分]求微分方程3sin1cos0xxeydxeydy的通解解：cos3sin1xxyedydxye，cos3sin1xxyedydxyelnsin3ln1lnxyec，sin31xyce十一、[7分]计算满足下述方程的可导函数yyx，0cos2sin1xyxxyttdtx解：原方程两端求导得cossin2sincossin1yxyxyxyxyx即sin1coscosxyyxx，这是标准的一阶线性微分方程sinsinlncoslncoscoscos11tancoscoscosxxdxdxxxxxyeeceecxcxxx十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题2001yyxyy解：方程2yyx对应的齐次方程为0yy，它的特征方程为210r，特征根为1,2ri，从而对应通解为12cossinYcxcx容易看出2yyx的一个特解为*22yx，因此原方程的通解为212cossin2ycxcxx从而12sincos2ycxcxx，由初值条件可得123,1cc。因此23cossin2yxxx2007级八、[7分]求微分方程20xyxedxxdy的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程1xyyxex由公式111lnlndxdxxxxxxxxxyexeedxcexeedxcxedxcxce九、[7分]设fx具有二阶连续导数，00,01ff，且20xyxyfxydxfxxydy是全微分方程，求fx其此全微分方程的通解。解：由全微分方程的条件知2221,222,,10,xxyfxfxxyfxfxxrri有特解有形式*2fxaxbxc，代入原方程得*22fxx从而通解21212cossin2,sincos2fxcxcxxfxcxcxx由初值条件121220,1,2,1,cccc因此22cossin2fxxxx原方程即为222cossin22sincos20xyxyxxxydxxxxxydy即222sincos22sincos202xydydxxxxxxdy22222sincos20,2sincos222xyxydxxxyxxxyc2006级5、用待定系数法求微分方程232yyyx的一个特解时，应设特解的形式y（B）(A)2ax；（B）2axbxc；（C）2()xaxbxc；（D）22()xaxbxc九、（本题7分）设xye是微分方程xypxyx的一个解，求此微分方程的通解解：1xxxepxe，求10xxeyye得xxeyce从而通解为xxexycee2005级3、[3分]微分方程11xy的通解是(A)211ln1yxxc(B)12ln1yxcxc(C)212ln1yxxcxc(D)121ln1yxxcxc4、[3分]微分方程232xyyyxe的待定特解形式是.十、[8分]求微分方程costan20,12xdyxeyydx的解十二、计算题[4分]设二阶常系数线性微分方程xyyye的一个特解为21xxyexe，试确定常数,,，并求该微分方程的通解