1614248684837共4页第1页1995高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案(16分)1.把)94ln(2x展开为x的幂级数,其收敛半径R32解:2229922ln(49)ln4ln1,1,,4433xxxxR2.设一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy有两个线性无关的解21,yy,若21yy也是该方程的解,则应有1解:1212()(),1yyPxyyQxQx3.设柱面322yx,与曲面xyz在),,(000zyx点相交,且他们的交角为6,则正数0z2/3解:122222322,,0,,,1,cos26231xyznxynyxxyxy从而解得0z2/34.xxf2sin)(在x0上的余弦函数的和函数为)(xs,则)(xs的周期是2二、计算下列各题(本大题分2小题,共13分)1.计算zdxdydzI,其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域。解:1121122000002222rzdrdrzdz2.设222)()()(,1czbyaxrru,其中cba,,为常数,求222222zuyuxu.解:322222232653311,rrrxaxarurxaxauxxrxrrrxrr1614248684837共4页第2页由轮换对称性222222252533,yarzaruuyrzr从而2222220uuuxyz三、根据题目要求解答下列各题(共18分)1.写出方程xyyy32的待定特解的形式解:20121230,310,1,3;,0xrrrrrrfxxPxe不是特征根,*yaxb为方程的待定特解的形式2.判定级数13sin2nnn的敛散性解:对该正项级数,求111112sin2233limlimlim132sin233nnnnnnnnnnnnnuu,收敛3.确定常数A,使DdxdyyxA1)sin(,其中D是由2,2,xxyxy所围成解:222001sin()sincos2cos3xxDAxydxdyAdxxydyAxxdx20sin2sin310,32333xxAAAA四、(7分)试确定可导函数)(xy,使方程20()2()xtytdtxyx成立解:当0,02xy,方程两边求导2(),2xyxxyxyxyx2222xxdxxdxyexedxcce,(也可用分离变量法求,试试!)由初值条件224,24xcye五、(本大题7分)求质点沿椭圆4422yx的逆时针方向绕行一周时,力jxyixyF)2()3(所做的功。1614248684837共4页第3页解:(3)(2)114CCDWFdsyxdxyxdydxdy六、(本大题8分)计算yzdxdydzdxydydzyI4)1(2)18(2,其中是由曲线)31(01yxyz绕y轴一周所成的曲面,其法向量与轴正向的夹角恒大于2.解:2222:1,1xzyyxz,引入221:3,(2)yxz,112(81)2(1)48144219DIydydzydzdxyzdxdyyyydvdzdx2222242322100016162232232344xyDDrdvdzdxdzdxdydrrdrr七、(8分)求方程xyy2cos4的通解。解:41,21240,2,cos2sin2rriycxcx,比较cos2cosxfxxex得2ii是单根,设*10cos2sin2cos2sin2xyxeaxbxxaxbx求导后代入原方程得14sin2cos2cos2,,04axbxxba所以原方程通解为xxxcxcy2sin412sin2cos21八、(7分)设函数),(yxfz具有连续的一阶偏导数,2,2yx,试用zz,变换方程yzxz.解:11221122zzxzyzzzzzxyxyxzzzzzxzyzzyxyxy令,0zzzzz九、(7分)求曲面222yxz包含在圆柱面xyx222内的那部分(记为)的面积.解:由几何分析知有上下对称的两片22:,zxy22:11xyDxy1614248684837共4页第4页2222,,2zxzydSdxdyxyxyxy22222122DSdxdy十、(9分)设1nnnxa的收敛半径1R,1nnnxb的收敛半径2R,且210RR,试证明1)(nnnnxba的收敛半径1R证:当1xR时,1nnnxa绝对收敛,1nnnxb绝对收敛,从而1)(nnnnxba也绝对收敛当12RxR时,1nnnxa发散,1nnnxb绝对收敛,从而1)(nnnnxba也发散当2112,xRRxR,由上面结论知11()nnnnabx发散,由阿贝尔定理可推知1xx时1()nnnnabx也发散。综上所述,可得1)(nnnnxba的收敛半径1R