华南理工大学高等数学统考试卷下册统考试卷及解答 1995

共5页第1页1995高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（16分）1．把)94ln(2x展开为x的幂级数，其收敛半径R32解：2229922ln(49)ln4ln1,1,,4433xxxxR2．设一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy有两个线性无关的解21,yy，若21yy也是该方程的解，则应有1解：1212()(),1yyPxyyQxQx3．设柱面322yx，与曲面xyz在),,(000zyx点相交，且他们的交角为6，则正数0z2/3解：122222322,,0,,,1,cos26231xyznxynyxxyxy从而解得0z2/34．xxf2sin)(在x0上的余弦函数的和函数为)(xs，则)(xs的周期是2二、计算下列各题（本大题分2小题，共13分）1．计算zdxdydzI，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域。解：1121122000002222rzdrdrzdz2．设222)()()(,1czbyaxrru，其中cba,,为常数，求222222zuyuxu.共5页第2页解：322222232653311,rrrxaxarurxaxauxxrxrrrxrr由轮换对称性222222252533,yarzaruuyrzr从而2222220uuuxyz三、根据题目要求解答下列各题（共18分）1．写出方程xyyy32的待定特解的形式解：20121230,310,1,3;,0xrrrrrrfxxPxe不是特征根，*yaxb为方程的待定特解的形式2．判定级数13sin2nnn的敛散性解：对该正项级数，求111112sin2233limlimlim132sin233nnnnnnnnnnnnnuu，收敛3．确定常数A，使DdxdyyxA1)sin(，其中D是由2,2,xxyxy所围成解：222001sin()sincos2cos3xxDAxydxdyAdxxydyAxxdx20sin2sin310,32333xxAAAA四、（7分）试确定可导函数)(xy，使方程20()2()xtytdtxyx成立解：当0,02xy，方程两边求导2(),2xyxxyxyxyx2222xxdxxdxyexedxcce，（也可用分离变量法求，试共5页第3页试！）由初值条件224,24xcye五、（本大题7分）求质点沿椭圆4422yx的逆时针方向绕行一周时，力jxyixyF)2()3(所做的功。解：(3)(2)114CCDWFdsyxdxyxdydxdy六、（本大题8分）计算yzdxdydzdxydydzyI4)1(2)18(2，其中是由曲线)31(01yxyz绕y轴一周所成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大于2.解：2222:1,1xzyyxz，引入221:3,(2)yxz，112(81)2(1)48144219DIydydzydzdxyzdxdyyyydvdzdx2222242322100016162232232344xyDDrdvdzdxdzdxdydrrdrr七、(8分)求方程xyy2cos4的通解。解：41,21240,2,cos2sin2rriycxcx，比较cos2cosxfxxex得2ii是单根，设*10cos2sin2cos2sin2xyxeaxbxxaxbx求导后代入原方程得14sin2cos2cos2,,04axbxxba所以原方程通解为xxxcxcy2sin412sin2cos21八、（7分）设函数),(yxfz具有连续的一阶偏导数，2,2yx，试用zz,变换方程yzxz.共5页第4页解：11221122zzxzyzzzzzxyxyxzzzzzxzyzzyxyxy令,0zzzzz九、(7分)求曲面222yxz包含在圆柱面xyx222内的那部分（记为）的面积.解：由几何分析知有上下对称的两片22:,zxy22:11xyDxy2222,,2zxzydSdxdyxyxyxy22222122DSdxdy十、(9分)设1nnnxa的收敛半径1R，1nnnxb的收敛半径2R，且210RR，试证明1)(nnnnxba的收敛半径1R证：当1xR时，1nnnxa绝对收敛，1nnnxb绝对收敛，从而1)(nnnnxba也绝对收敛当12RxR时，1nnnxa发散，1nnnxb绝对收敛，从而1)(nnnnxba也发散当2112,xRRxR，由上面结论知11()nnnnabx发散，由阿贝尔定理可推知共5页第5页1xx时1()nnnnabx也发散。综上所述，可得1)(nnnnxba的收敛半径1R