大学课件-概率论与数理统计-事件的相互独立性

定义1若两事件Ａ，Ｂ满足P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件Ａ、Ｂ(或Ｂ、Ａ)相互独立。简称独立。ƒ定义１即使在P(A)=0或P(B)=0时，仍然适用。ƒ必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。由定义可得：事件的相互独立性定理如P(A)0，则事件A与B独立()()BPABP=如P(B)0，则事件A与B独立()()APBAP=证明)()(0)()()()()()()(BPABPAPBPAPABPBAABPAPABP===得由独立，得、又Q相互独立与BABPAPABPAPABP∴==)()()()()(我们注意到，两个事件独立和两个事件不相容是完全不同的两个概念。前者说一个事件是否发生对另一个事件发生的概率大小没有影响；而后者说，两个事件是不可能同时出现的。定理若对事件Ａ，Ｂ；Ａ，；，Ｂ；，中有一对是相互独立的，则另外三对事件是相互独立的（即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立）。BAAB证明思路：我们首先证明下面四个命题：（１）由A，B事件相互独立，推出A，事件相互独立；（２）由A，事件相互独立，推出，B事件相互独立；（３）由，B事件相互独立，推出，事件相互独立；（４）由，事件相互独立，推出A，B事件相互独立；四个命题，定理5结论成立。BBAAAABB证明：(１)因为Ａ，Ｂ事件相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)。()()()()()()()()()()()()BPAPBPAPBPAPAPABPAPABAPBAP=−=−=−=−=1又相互独立。、所以BA（２）()()()BPAPBAPBA=∴相互独立，、Q()()()()()()BAAPBPABPBPABBPBAP−−=−=−=又()()()()()()()()()()()()()()()()()()()APBPAPBPBPAPBPBPAPBPBPAPAPBPBAPAPBP=−=−=−−=+−=+−=11相互独立。、所以BA（３）()()()BPAPBAPBA=∴相互独立，、Q()()()()()()()()()()()()BPAPBPAPBPAPAPBAPAPBAAPBAP=−=−=−=−=1相互独立。、所以BA又（４）()()()BPAPBAPBA=∴相互独立，、Q()()()()()()BABPAPBAPAPBAAPABP−−=−=−=又()()()()()()()()()()()()()()()()()()()APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP=−=−=−−=+−=+−=11所以，A、B事件相互独立。例1甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率。解：记{}{}{}。敌机被击中Ｃ＝，乙击中敌机Ｂ＝，甲击中敌机Ａ＝()()()()()()()()()8.05.06.05.06.0=×−+=−+=−+=∪=BPAPBPAPABPBPAPBAPCP事件的独立性概念可以推广到有限个事件的情形。定义２设A1，A2，…，An是n个事件，若对所有可能的组合1≤ijk…≤n成立着()()())(2个共njijiCAPAPAAP=()()()())(3个共nkjikjiCAPAPAPAAAP=••••••()()()())(2121个共nnnnCAPAPAPAAAPLL=则称A1，A2，…，An相互独立。例2：同时抛掷两个四面体，每个四面体的四个面分别标有1、2、3、4。定义事件}{}{}{奇数现偶数，或者同时出现两个四面体或者同时出第二个四面体出现奇数第一个四面体出现偶数===CBA81)()()(0)(41)()()(21)()()(========CPBPAPABCPCAPBCPABPCPBPAP故A、B、C不相互独立。定理设n个事件A1，A2，…，An相互独立，那么，把其中任意m(1≤m≤n)个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。例3：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机（可以认为各门高射炮的射击相互独立）？解：设需要设置的高射炮数为n{}()niAAAAAniiA∪∪∪===LL21}{,,,2,1＝则有敌机被击中门炮击中敌机第令()()99.021≥∪∪∪=nAAAPAPnL使得求()()()()()()()()99.04.011111212121≥−=−=−=∪∪∪−=−=nnnnAPAPAPAAAPAAAPAPAPLLL即得门高射炮。故至少需要设置6026.53979.024.0lg01.0lg==≥n例4一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性；由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为r(0r1)，且各元件能否正常工作是相互独立的。设以2n(n1)个元件按图１及图２所示的两种联接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个可靠性的大小。图２系统２A1A2B1B2AnBn解：设{}niAAii,,2,1L==，能正常工作元件{}niBBii,,2,1L==，能正常工作元件A1A2AnB1B2Bn图１系统１计算系统１的可靠性：它有两条通路，在每条通路中，当且仅当该通路上所有元件都能正常工作时，该条通路才能正常工作，因为系统１由两条通路并联而成，因此，只要有一条通路能正常工作，则系统１就能正常工作。()()()()()()[]()[]()()nnnrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR−=−−=−−−=−=−=∪−=∪=21111111121所求的系统１的可靠性为：()()()()()nnnrAPAPAPAAAPAP===LL2121()()()()()nnnrBPBPBPBBBPBP===LL2121因为各元件能否正常工作是相互独立的，得{}组成的通路能正常工作由元件记nAAAA,,,21L={}组成的通路能正常工作由元件nBBBB,,,21L=A1A2AnB1B2Bn则系统２中每对并联元件所组成的子系统的可靠性为()niBACiii,,2,1L=∪=设()()()()()()()[]()[]()()rrrBPAPBPAPBAPBAPBAPCPiiiiiiiiiii−=−−=−−−=−=−=∪−=∪=2111111112下面计算系统２的可靠性：()()()()()nnnnrrCPCPCPCCCPR−===221212LL系统２是由n个子系统串联而成，所求系统２的可靠性为：B1B2BnAnA2A1注：我们可以证明R2R1()[]nnnrrrRR+−−=−2212事实上，()()0)1(22=+−−=frrrfnn得令()()()[]111122−−−−−−=+−−=′nnnnrrnnrrnrf当0r1时，f’(r)0，即f(r)是单调递减函数。∴f(r)f(1)0即R2R1‰若n个事件A1,A2,…,An相互独立,将这n个事件任意分成k组,同一个事件不能同时属于两个不同的组,则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的k个事件也相互独立.利用独立事件的性质计算其并事件的概率若A1,A2,…,An相互独立,则)()(211nniiAAAPAP∪∪∪==LU∏=−−=niiAP1))(1(1)(121nAAAPL−=∏=−=niiAP1)(1)(121nAAAP∪∪∪−=L)(1UniiAP=∏=−−=niiAP1))(1(1