物体的平衡竞赛训练试题

学科网-精品系列资料版权所有@学科网第一章《物体的平衡》竞赛测试题时间：150分钟总分：150分1、(15分)如图所示，四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形。下面三个球用绳缚住，绳与三个球心在同一水平面内。如各球均重P，求绳内张力。忽略上面未放球前，绳内已有的初始张力。2、(15分)质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、μ、L、d、α应满足什么条件？3、(20分)三根圆木如图所示，堆放在水平地面上，它们之间以及与地面之间的摩擦系数μ相同。⑴三根圆木的半径和质量相同，试确定保持平衡所需的静摩擦系数的最小值。⑵三根圆木质量相同，下面两根半径为R，上面一根半径为r。设静摩擦系数μ=0.5，求保持不稳所需r/R的比值。4、(20分)半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。第1题图第2题图第3题图第4题图5、(20分)如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的动摩擦因数为μ，板很轻，其质量可以忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为m′的重物，OA长为L，板与竖直夹θ角，θ=53°，试问，m′至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。6、(30分)由重量可以忽略的轻杆组成的一种对称的支架结构，如图所示，这里构件FC、AD和EB交叉但不接触，其它结点都用光滑轴连结在一起，现将此支架放于竖直平面内，在AC两点支起，而在B点施竖直向下的力W。试求各杆所受内力的大小？7、(30分)等重的两小木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为α的斜面上。两木块与斜面的静摩擦系数分别为μ1和μ2，已知μ1μ2，tanα=μ1μ2。求绳子与斜面上的最大倾斜线(图中虚线)之间的夹角θ应满足什么条件，它们才能在斜面上保持静止。学科网-精品系列资料版权所有@学科网第5题图第6题图第7题图试题参考答案1、解：四个球的球心构成正四面体，如图1所示，由几何关系可得：rOO3621，rOO33214，以上面球为研究对象，下面三个球对上面球的作用力大小相等，设为N，则：G363N，所以：G66N以下面三球中一个球O4为研究对象。设所受的橡皮条的拉力分别为F1=F2=F，此二力的合力必过圆心，其大小为：F3F。其受力如图2所示。此球在竖直平面内的力如图所示。所以有：G6633N332F3F，解得：G186F图1图2图32、解：受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：gmMFNm)(sincos①cossin1mFNN②由①式可得：sincos)(NgmMFm杆不滑动的条件为：NFm，所以NNgmMsincos)(即：)sin(cos)(NgmM③学科网-精品系列资料版权所有@学科网以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：coscosNdMgL④③④式相除可得：)]sin(cos[cos12dLMm⑤以桌棱为轴转动平衡方程为：)cos(tan1dLMgdNmgd⑥物体不转动的条件是：01N，所以由⑥式可得：)cos(dLMgmgd整理得：cos1dLMm⑦由⑤、⑦两式可得：)]sin(cos[cos1cos2dLMmdL⑧由上式可得：)]sin(cos[coscos2dLdL，即：1)sin(coscos所以：tan综上所述，物体处于平衡状态的条件是：)]sin(cos[cos1cos2dLMmdL，且必须满足：tan。3、解：以木块2为研究对象，受力图如图所示。由以圆心为转动轴的力矩平衡可知：21ff设N1与水平方向夹角为，在竖直方向上有：cossin112fNGN所以有：12NN，因此先达到临界条件的是f1。(1)当三圆木半径相等时，60。在水平方向：211sincosffN，可得：268.011Nf(2)当三圆木半径不相等时，rRRcos，rRRrR22)(sin在水平方向：211sincosffN，即rRRNfrRRrRf12221)(2211)(RrRrRRNf，整理可得：41Rr学科网-精品系列资料版权所有@学科网4、解：分析图中几何关系可得：F1=F2=G1，则2sin22sin22gmFN，N必过圆心。AOQ与过圆心O的力的三角形相似，所以OQNAQgm1在AOQ中，由正弦定理得：)290sin(sin)2sin(LOQAQ在AOE中，LR)sin(由上述整理得：)(sin212mmLRm说明：如果以A点为转动轴，列力矩平衡的方程，解答变得更简单。5、圆柱体受力图如图所示。以圆柱中心为轴可得：21ff以21ff、的交点为轴列力矩平衡方程：)2cot()2cot(21RNRNmgR所以21NN，因此圆柱先与木板打滑。所以221Nff由竖直方向物体平衡可得：cossin212ffNmg由上两式得：sincos2mgN学科网-精品系列资料版权所有@学科网对木板以O点为轴列平衡方程可得：)2cot(sin2RNgLm整理上式并代入数据得：)12(825)sincossin()2cot(LRmLmRm上式分析可得：012，即必须满足：216、解：设FFEB，则在结点E处有：FFFEFDE22分析D点可知：FFFEDAD22，FFFFADEDCD)(22根据对称性可知：FFFEFCF22FFFFCFEFAF)(22分析结点C，在水平方向：BCCFFF2322，竖直方向：BCCFCDCFFFR2122又因：2WRC，FFCD，FFCF22最后得：WF233代入上面各式中可得各杆内力：FFFFFFCFADEFDE4)33(222FFFFCDFA233FFFFABCB633333学科网-精品系列资料版权所有@学科网7、解：当两物体间连线与最大倾斜线垂直时，物体2不可能平衡，当两物体放在最大倾斜线上时物体一定平衡，这是因为：cos)(coscos2121mgmgmg又：21tan所以：sin2cos2coscos2121mgmgmgmg(1)在斜面所在平面内分析2物体，2物体所受重力没斜面的分力为sinmg是定值。在下图1中取为OC，以O为圆心，以所受最大摩擦力为半径做圆，圆的半径必小于OC，要保证2物体静止，2物体所受静摩擦力不可能大于最大静摩擦，当达到最大静摩擦且与线MN所成角0最大，此种情况下12220cotsincossinmgmg在这种情况下，如果1物体所受的摩擦力小于其最大静摩擦，则杆与最大倾斜线的最大夹角为0；如果1物体所受的摩擦力大于其最大静摩擦，则杆与最大倾斜线的最大夹角小于0。此种情况下，1物体受力图如下图所示，因为杆对1物体的力与杆对2物体的力相等且所向，所以在做1物体所受杆的力时，可以在C下方做与O对称的圆，处长AC与圆相交于B，BC可表示杆对1物体的力。物体1与物体2沿斜面的分力相等，所以在下图中将物体2的受力图做在图1中左边，与物体2的受力图共用一边，则杆的弹力：22212120cos)cos()sin(mgmgmgT物体1所受的摩擦力0022010cossin2)sin(mgTmgTf整理上式得：)34()cos(22212210mgf已知物体1所受的最大静摩擦力：cos11mgfm当mff110时，即213时，最大夹角12arcsin若mff110时，即213时，最大夹角需重新求解。(2)另一种情况是两物体同时达最大静摩擦力(注意：不可能出现1物体达到最大静摩擦力而物体2没有达到最大静摩擦力的情况)这种情况的做图与第一种情况相似，如下图2所示。在力三角形ACO与CBO中可得：12222cossin2)sin()cos(TmgTmgmg12221cossin2)sin()cos(TmgTmgmg两式相加得：2221212)sin()cos)((21mgmgT，又21tan学科网-精品系列资料版权所有@学科网则：)(cos2221mgT两式相减得：22221)cos)((cossin4mgTmg将T值代入，且21tan，所以21214)(2cos综上所述：当213时，最大夹角为：12arcsin当213时，最大夹角为：21214)(2cos说明：本题的做图法很有特点，这样做图简单明了，使问题得到简化。图1图2