大学普通物理总复习

1力学总复习——《新世纪物理学》吴大江主编第一章质点运动学一、要求1、掌握：矢量、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变化的物理量；2、能借助于直角坐标系计算质点在平面运动时的速度、加速度；3、能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向和法向加速度。二、内容提要1、参考系：描述一个物体的运动，选择一个或几个相对静止的物体为比较的基准，这些物体群，称为参考系。2、运动（函数）方程：表示运动中的质点的位置随时间变化的函数。质点的位置用位矢r表示，运动（函数）方程为：r=r（t）；直角坐标表示：kzjyixtr)(其中，i、j和k分别为沿X、Y和Z轴的单位矢量，上式也表示其沿三个方向运动的合成；其大小为——|r|=√（x²+y²+z²）；方向余弦为——cosα=x/|r|、cosβ=x/|r|、cosγ=x/|r|。质点在时间间隔t到t+Δt的位置矢量为：)(ttr6、瞬间速度：dtrdtrVt0lim……（1.3-2）trO图中矢量OP为)(tr，OQ为)(ttr，PQ为r，而Q´Q=||rrXYZ)(tr)(ttrrabPQQ´tS3、坐标矢量：kzjyixtr)(4、位移矢量：)()(trttrr5、平均速度：位移Δr与发生这段位移所经历的时间Δt的比值，用V表示。v=ttrttrtr)()(……（1.3-1）27、速度的直角坐标法：kzjyixr……（1.2-1）kdtdzjdtdyidtdxdtrdV=kVjViVzyx……（1.3-3）V=|V|=222zyxVVV……（1.3-4）速度的大小常称为速率。8、速度的自然坐标法dtdsV……（1.3-5），式中方向矢量速率V=dtdS……（1.3-6）9、平均速率；路程与经历这段路程的比值，称为质点在这段时间内的平均速率：tSv……（1.3-7），即质点在单位时间内所通过的路程，并不给出运动的方向。10、平均加速度——tVa……（1.4-1）；11、瞬时加速度（当0t时，曲线转化为直线——辩证思维！）dtvdtvat0lim=22dtrd=axi+ayj+azk……（1.4-2）a=|a|=222zyxaaa……（1.4-3）ax=22dtxddtdVx，2222,dtzddtdVadtyddtdVazzyy；图1.4-1312、自然坐标系中质点运动加速度1）、切向加速度——dtdva为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·dtd给出因速度方向（即切线方向单位矢量的方向）改变而具有的加速度。nVan2，故nVaa2……（1.4-6）22222)()(VdtdVaaan……（1.4-7）（3）、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到：由dtdsV……（1.4-4），对（1.4-4）式求一阶导数，则有dtdVdtdVdtVddtVd)(……（1.4-5），1）、切向加速度——dtdva为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·dtd给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方向）改变而具有的加速度。13、曲线运动与圆周运动类比项目曲线运动圆周运动平均速度v=Δr/Δtω=Δθ/Δt（平均角速度）瞬时速度v=0limtΔr/Δt=0limtΔ/Δt（角速度）=dr/dt=d/dt加速度a=0limtΔv/Δt=0limtΔ/Δt=22dtrddtvd||=dω/dt=d²θ/dt²匀变速（V=V0+atω=ω0+βt曲线特例）S=V0t+½at²θ=θ0+ωt+½βt²直线运动V²-V²0=2aSω²-ω²0=2β（θ-θ0）414、圆周运动的加速度：a=an+at，at=Rβ，an=V²/R=ω²Ra=√（an²+at²）=√[（V²/R）²+（Rβ）²]15、伽利略速度变换：设Sˊ参考系在S系中，以速度u匀速运动；在Sˊ中的质点的速度为vˊ，则在同一时刻它在S系中的速度为：)()()(tvtutV；加速度为：aaa0。二、矢量运算法则1、解析法（1）、坐标法则：kAiAiAAzyx，kBiBiBBzyxkBAiBAiBABAzzyyxx)()()(（2）、矢量的标积和矢积∵10coscosii，10coscosjj，10coscoskk；kjkiji090coscos，∴相同矢量的标积为1，相异矢量的标积为零；故有：zzyyxxBABABABA。∵00sinsinii，00sinsinjj，00sinsinkkkkkji90sinsin，同理：ikj，jik，∴相同矢量的矢积为零，相异矢量的矢积为1；故有：kAABAjBABAiBABABAxyyxzxxzyzzy)()()(。3、三角函数法（余弦定理）若矢量A与矢量C的夹角为，则cos2222ABOAABOAOB。4、旋转矢量法Y如右图所示，矢量OA用极坐标),(rR表示，其以（恒定）匀角速度ω沿逆时针方向旋转，经过时间t后，矢量OA旋转的角度为θ=ωt；Δs矢量OA在极坐标系与直角坐标系之间的转换：A(r,θ)tRRXcoscos……（1）θ+ΔθSωtRRYsinsin……（2）称为运动学方程0θXOABarbr2、几何法（平行四边形法则）如右图所示：先画出矢量OA，再从A为起点画出矢量C至B点；连接OB，即可得矢量OB。所以BCA，CAB。B(r,θ+Δθ)Vcr5已知质点的运动学方程，求其轨迹方程：数理逻辑推理——将（1）和（2）式平方，相加tRX222cos……（1）´tRY222sin……（2）´（1）´+（2）´得222222)sin(cosRttRYX，即222RYX……（3）为质点的轨迹方程。三、坐标系1、一维直线坐标系：OX轴：OXf=f（x）2、二维平面坐标系：（1）、笛卡尔平面坐标系OXY系OX垂直于OY轴f=f（x，y）（2）、自然平面坐标系P自然坐标op=s，称为质点P的n自然坐标，两个相互垂直O·s的单位矢量和n，如图1.2-2所示；图1.2-2为切向单位矢量，n为法向单位矢量。（3）、极坐标系在研究圆周运动时，常采用极坐标系，其以两个变量r和θ来描述质点的坐标，如图1.5-1所示。3、三维笛卡尔立体坐标系OXYZ系f=f（x，y，z）（4）、自然坐标下的速度（类比推理：矛盾的特殊性——对方向求导）得到：由dtdsV……（1.4-4），对（1.4-4）式求一阶导数，则有dtdVdtdVdtVddtVd)(……（1.4-5），1）、切向加速度——dtdva为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V的变化率，方向与切线方向平行；2）、法向加速度——v·dtd给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方向）改变而具有的加速度。n6三、解题思路1、一般原则是：先仔细审题、了解题意、构思出题述的物理图像（形象思维）、明确已知条件和要求的结果；然后，根据已知条件选择合适的定理、定律和数学公式求解。解题时如涉及数字计算，要注意有效数字和单位，有效数字一般取三位，单位一般采用国际单位制的单位。2、解题是把物体抽象为质点，研究质点运动时，一般建立坐标系、画图帮助表达和思考。3、对圆周运动，要善于计算法向（向心）加速度外，还要会计算切向加速度。要注意切向加速度dv/dt是速率的变化率，即速度对时间的导数，而速率又是时间的函数。4、在速度变换的计算中，要十分明确各个速度是“谁对谁”的速度，要会用速度变换的“串联”法则（伽利略速度变换）：)()()(tvtutv；（加速度变换为：aaa0）。5、注意矢量和标量的区别，并能用适合的文字标志来表示它们：黑体或箭头。6、解题要能正确表达思路，写出各步骤的根据，不能只写公式和数字。只有写出正确文字表达，才能说明自己真正理解了物理概念和定律。四、思考题解答1.1一斜抛物体的水平速度是xV0，它的轨道最高点处的曲率圆的半径是多大？答：斜抛物体在运动过程中，只受重力作用，水平速度保持不变xVV0，切向加速度,0ta它的轨道最高点处的斜率是水平的，该处的曲率圆的半径沿垂直方向，法向加速度为重力加速度，即RVagn2，∴gVgVRx202。1.2、质点轨道方程与其运动学方程有何区别？答：质点运动学方程为)(),(),(),(tzztyytxxtrr，是时间的函数；而质点轨道方程是空间的位置函数，如圆的方程为：Ryx22，与时间无关。1.3、自由落体从0t时刻开始下落，用公式221gth计算，它下落的距离达到m6.19的时刻为st2,0。这-2秒，有什么物理意义？该时刻物体的位置和速度各如何？答：这-2秒是指物体下落前的2秒。从0t的时刻回溯，物体是自由落体的“逆过程”，即上抛运动，在0t的时刻到达最高点，即物体开始下落的位置。由此可见，该时刻（st2）物体的位置和速度与st2时刻都相同，但是，其运动方向相反，即质点向上运动。7五、习题精解1.1、在表达式trVt0lim中位置矢量r；位移矢量是r。解：由瞬时速度的定义可知：位置矢量是r；位移矢量是r。1.2、一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为V，某一段时间内的平均速度为v，平均速率为v，它们之间的关系必定有（A）,vvvv（B）,vvvv（C）,vvvv（D）,vvvv[D]解：根据它们的定义，进行判断。1、定义式：某一时刻的速度：trvt0lim，速度的大小称为速率，其表达式为222||zyxvvvvv；而某一时间内的平均速度为：v=ttrttrtr)()(。某一时间内的平均速率为：tSv，即质点在单位时间内所通过的路程，并不给出运动的方向，不能把平均速度与平均速率等同起来！质点回到原点时，位移为零，平均速度为零，而路程不为零，所以，平均速率不为零。2、进行判断又∵弧长S=PQ大于弦长|Δr|=PQ，S|Δr|；从图1.3-1中，PQ=|Δr|，PˊQ=Δr所以，|Δr|≠Δr很重要！比较可知：vvv||。在（A）vvv,v中，速率||vv，平均速度为v不等于平均速率为v，即vv，排除A；在（B）中，vvv,v都是错误的，排除B；在（C）中，v,v是错误的，排除C；又∵222||zyxvvvvv，∴选（D）vvv,v。1.3、一个质点沿X轴作直线运动，其运动学方程为3212863tttX，则（1）质点在t=0时刻的速度V0=6m/s，加速度a0=2/16sm；（2）加速度为0时，该质点的速度V=7.8m/s。解：（1）261636vtt，1672at，当0a时，st22.07216（2）sm/8.7)7216(367216166281.4、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（V0）（1）0,0;tnaa变速率曲线运动，（2）0,0;tnaa变速率直线运动。解释：因为,tnaa分别表示切向加速度和法向加速度，切向加速度的作用是改变质点运动速度的大小，而法向加速度是改变其运动的方向；所以0,0;tnaa变速率曲线运动；0,0;tnaa变速率直线运动。1.5、一运动质点的速率V与路程S的关系为21vs。（SI），则其切向加速度以S来表达的表达式为：S来表达的表达式为：ta322ss。解：232221