大学物理练习及解答

大学物理习题及解答习题一1-1｜r｜与r有无不同?tddr和tddr有无不同?tddv和tddv有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r是位移的模，r是位矢的模的增量，即r12rr，12rrr；（2）tddr是速度的模，即tddrvtsdd.trdd只是速度在径向上的分量.∵有rrˆr（式中rˆ叫做单位矢），则tˆrˆtrtddddddrrr式中trdd就是速度径向上的分量，∴trtdddd与r不同如题1-1图所示.题1-1图(3)tddv表示加速度的模，即tvadd，tvdd是加速度a在切向上的分量.∵有(vv表轨道节线方向单位矢），所以tvtvtvdddddd式中dtdv就是加速度的切向分量.(ttrdˆddˆd与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝22yx，然后根据v=trdd，及a＝22ddtr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v=22ddddtytx及a=222222ddddtytx你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有jyixr，jtyitxtrajtyitxtrv222222dddddddddddd故它们的模即为222222222222ddddddddtytxaaatytxvvvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22ddddtratrv其二，可能是将22ddddtrtr与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明trdd不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22ddtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分222ddddtrtra径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=3t+5,y=21t2+3t-4.式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．解：（1）jttitr)4321()53(2m(2)将1t,2t代入上式即有jir5.081mjjr4112mjjrrr5.4312m(3)∵jirjjr1617,4540∴104sm534201204jijirrtrv(4)1sm)3(3ddjtitrv则jiv7341sm(5)∵jivjiv73,3340204sm1444jvvtva(6)2sm1ddjtva这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以0v(m·1s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．图1-4解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成角，由图可知222shl将上式对时间t求导，得tsstlldd2dd2题1-4图根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，∴tsvvtlvdd,dd0船绳即cosdddd00vvsltlsltsv船或svshslvv02/1220)(船将船v再对t求导，即得船的加速度3202220202002)(ddddddsvhsvslsvslvsvvstsltlstva船船1-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a＝2+62x，a的单位为2sm，x的单位为m.质点在x＝0处，速度为101sm,试求质点在任何坐标处的速度值．解：∵xvvtxxvtvadddddddd分离变量：xxadxd)62(d2两边积分得cxxv322221由题知，0x时，100v,∴50c∴13sm252xxv1-6已知一质点作直线运动，其加速度为a＝4+3t2sm，开始运动时，x＝5m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置．解：∵ttva34dd分离变量，得ttvd)34(d积分，得12234cttv由题知，0t,00v,∴01c故2234ttv又因为2234ddtttxv分离变量，tttxd)234(d2积分得232212cttx由题知0t,50x,∴52c故521232ttx所以s10t时m70551021102sm190102310432101210xv1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为=2+33t，式中以弧度计，t以秒计，求：(1)t＝2s(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?解：tttt18dd,9dd2(1)s2t时，2sm362181Ra)sin(sin2cos2sin200tRtRRtvRtvx2222sm1296)29(1Ran(2)当加速度方向与半径成ο45角时，有145tannaa即RR2亦即tt18)9(22则解得923t于是角位移为rad67.29232323t1-8质点沿半径为R的圆周按s＝2021bttv的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,0v，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2)t为何值时，加速度在数值上等于b．解：（1）btvtsv0ddRbtvRvabtvan202)(dd则240222)(Rbtvbaaan加速度与半径的夹角为20)(arctanbtvRbaan(2)由题意应有2402)(Rbtvbba即0)(,)(4024022btvRbtvbb∴当bvt0时，ba1-9半径为R的轮子，以匀速0v沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R)sin(tt，y＝R)cos1(t，式中0v/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．解：依题意作出下图，由图可知题1-9图(1))cos1()cos1(2sin2sin2tRRRy(2))sindd)cos1(ddtRtyvtRtxvyxtvtRatvtRayyxxddcosddsin221-10以初速度0v＝201sm抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R；(2)落地处的曲率半径2R．(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．题1-10图(1)在最高点，o0160cosvvvx21sm10gan又∵1211van∴m1010)60cos20(22111nav(2)在落地点，2002vv1sm,而o60cos2gan∴m8060cos10)20(22222nav1-11飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为β=0.2rad·2s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：当s2t时，4.022.0t1srad则16.04.04.0Rv1sm064.0)4.0(4.022Ran2sm08.02.04.0Ra2sm22222sm102.0)08.0()064.0(aaan1-12如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝gy2沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．解：当滑至斜面底时，hy，则ghvA2,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，A对地的速度为jghighuvuvAA)sin2()cos2('地题1-12图1-13一船以速率1v＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v＝40km·h-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有1221vvv，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)题1-13图由图可知1222121hkm50vvv方向北偏西87.3643arctanarctan21vv(2)小船看大船，则有2112vvv，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得5012v1hkm方向南偏东o87.361-14当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3m，如雨滴的速度大小为8m·s-1，求轮船的速率．解：依题意作出矢量图如题1-14所示．题1-14图∵船雨雨船vvv∴船雨船雨vvv由图中比例关系可知1sm8雨船vv习题二2-1一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m的物体，另一边穿在质量为2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a下滑，求1m，2m相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a，其对于2m则为牵连加速度，又知2m对绳子的相对加速度为a，故2m对地加速度，由图(b)可知，为aaa12①又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有111amTgm②222amgmT③联立①、②、③式，得2121211212212211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论(1)若0a，则21aa表示柱体与绳之间无相对滑动．(2)若ga2，则0fT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m,2m均作自由落体运动．题2-1图2-2一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0v运动，0v的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．解:物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取0v方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.题2-2图X方向：0xFtvx0①Y方向：yymamgFsin②0t时0y0yv2sin21tgy由①、②式消去t，得220sin21xgvy2-3质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为xf＝6N，yf＝-7N，当t＝0时，yx0，xv＝-2m·s-1，yv＝0．求当t＝2s(1)位