力系的平衡

第九章力系的平衡力系的平衡是静力学的核心内容。本章由一般力系的简化结果得出一般力系平衡的几何条件及其解析表达形式——平衡方程，并由此导出各类特殊力系的独立平衡方程；运用平衡条件，求解各类物体系统的平衡问题，确定物体的受力状态或平衡位置。§9.1一般力系的平衡原理广义地说，不改变物体运动状态的力系称为平衡力系，平衡力系所需满足的条件称为力系的平衡条件。刚体在平衡力系作用下既可能保持静止状态，也可能保持惯性运动状态(例如绕中心轴匀速转动)。因此，只有在静力学中，力系的平衡条件对同一刚体才是必要而又充分的。9.1.1一般力系的平衡条件根据空间一般力系的简化结果，得到空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即故一般力系平衡的几何条件是，力系简化的力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭。问题9-1图(a)中三力构成三角形ABC，图(b)中四力构成平行四边形ABCD，问受力圆板平衡吗？答图(a)中，主矢0RF，而主矩0AM，圆板不平衡；图(b)中，主矢0RF，且主矩0OM，圆板平衡。思考9-1所示力系各力分别沿正方体棱边作用且大小相等，试加一力使其平衡。(a)(b)问题9-1图思考9-1图如图8.30所示，以力系的简化中心O为原点，建立直角坐标系Oxyz，由式(9-1)分别向各坐标轴投影得0,0,0,0,0,0xxyyzzFMFMFM(9-2)方程组(9-2)称为空间一般力系平衡方程的基本形式。它表明，空间一般力系平衡的充分必要条件是，力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和以及对三个坐标轴力矩的代数和同时等于零。一般说来，应用这组方程于单个平衡刚体，可求得相应空间一般力系平衡问题的60且0ROFM（9-1）个未知量。顺便指出，一般力系的平衡方程组还有四矩式(4个力矩方程，两个投影方程)、五矩式和六矩式，这些方程组的独立补充条件比较复杂，不过它们在求解已知的平衡问题时并不重要。9.1.2特殊力系的平衡方程各种特殊力系的平衡方程都可以由方程组(9-2)导出，这只要从中去掉那些由各种特殊力系的几何性质所自动满足的方程就行了。1平面一般力系的平衡方程图9.1所示平面一般力系(设各力线位于Oxy平面)，显然各力在z轴上的投影为零，即恒有0zF，各力对x轴和y轴之力矩均为零，即恒有0xM，0yM。在平衡方程组(2-2)中去掉这三个已经自动满足的方程，便得到以下平衡方程。(2-3)可以证明，与(9-3)式等价的平衡方程组还有二矩式(2-4)其中，A，B两矩心连线不能与x轴相垂直。三矩式为(2-5)其中A，B，C三矩心不能共线。类似地，容易得到以下特殊力系的平衡方程。2空间汇交力系的平衡方程(2-6)3空间平行力系(力线平行于z轴)的平衡方程(2-7)4空间力偶系的平衡方程(2-8)5平面汇交力系(力线在xOy面内)的平衡方程(2-9)6平面平行力系(力线在xOy面内，且平行x轴)的平衡方程图9.1平面一般力系0,0,0,(0)xyzOFFMM或0,0,0xABFMM（9-4）（9-3）0,0,0ABCMMM0,0,0xyzFFF（9-5）（9-6）0,0,0zxyFMM（9-7）0,0,0xyzMMM（9-8）0,0xyFF（9-9）(2-10)7平面力偶系的平衡方程(2-11)需要指出的是，在研究给定的平衡力系时，各种力系平衡方程的形式可任意选用。因为平衡力系各力在任何方向的投影之和及对任何轴的力矩之和均为零，我们只要适当选取投影轴及力矩轴列出相应平衡方程，解出所求量便行了。注意选择投影轴和力矩轴时不能违反上述有关补充规定，以保证所列出的平衡方程互相独立。各种力系独立平衡方程的个数是判断相应平衡问题是否可解的重要依据，这在解题中常常用到。问题9-2图示(a)，(b)，(c)三个问题可解吗?①求图(a)中三绳张力；②求图(b)中四杆内力；③求图(c)中七杆内力。问题2-2图答图(a)为平面汇交力系，有3个未知力，只有两个平衡方程，不可解；同理，图(b)和图(c)中均缺少一个方程，不可仅由静力平衡方程得解。还需在后续课程中考虑绳与杆的变形，建立补充方程联合求解。思考9-2指出下列各空间力系独立平衡方程数目。①各力线均平行于某平面；②各力线均平行于某直线；③各力线均相交于某直线；④各力线分别汇交于某两点；⑤一个平面任意力系加一个平行于此任意力系所在平面的平行力系。下面讨论几个简单平衡问题，说明平衡条件的应用。例9.1图(a)所示水平横梁，A处为固定铰支座，B处为可动铰支座，试求支座A，B的约束力。解研究横梁，其受力如图(b)所示，其中E点处的集中力为三角形分布载荷的简化结果。由0xF，有0AxF0,0xOFM（9-10）0M（9-11）由0AM，有3221112BF故1(kN)4BF由0yF，有322AyBFF故13(kN)4AyF图例2.1图例9.2图示移动式起重机自重(不包括平衡锤重量)500kNG，其重心O离右轨1.5m，悬臂最大长度为10m，最大起重量1250kNG。欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离x。跑车自重可忽略不计。解研究整体，其受力如图所示，各力组成一平面平行力系。满载时，1250kNG，由0BM，有01(3)31.510AGxFGG故01(3)1.5103AGxGGF起重机不向右翻倒的条件是0AF，即01(3)1.510GxGG(a)空载时，10G，由0AM，有034.5BFGxG故04.53BGGxF起重机不向左边翻倒的条件是，0BF，即04.5GxG(b)(a)(b)，并将1500kN,250kNGG代入，得例9．2图01000kN3G故0min1000kN3G将0min1000kN3G代入(b)式，得225036.75(m)1000xG故max6.75mx注意此处0minG和maxx均为临界值。设计时，应适当取值，使00minmax,GGxx，并验证(a)，(b)两个不等式同时成立。例9.3如图所示，卷扬机卷筒支于A，B两轴承上，力F的作用力线与筒及曲柄轴线均互相垂直，卷筒匀速卷起一重量450NG的物体。各处尺寸单位为cm，若不计摩擦与卷扬机自重，试求在图示位置平衡时力F的大小及A，B轴承约束力。例9.3图解研究整体，其受力如图所示，由0yM，有8300GF故120(N)F由0xM，得10060sin301240BzFGF故344.4(N)BzF由0zM，得100cos301240BxFF故128.9(N)BxF由0zF，得sin300BxAzFGFF故165.6(N)AzF8R由0xF，得cos300AxBxFFF故24.98(N)AxF其方向与图示相反。例9.4图(a)所示起重装置中，已知物重20kNG，不计杆、绳、滑轮B自重及滑轮B的尺寸，求平衡时AB和BC杆的内力。例2.4图解研究滑轮B，其受力如图(b)所示，因不计B轮尺寸，作用于其上的力系可视为平面汇交力系。由滑轮平衡知，滑轮两边绳之张力大小均等于G。由0xF，得cos60cos300BCFGG故(13)27.3(kN)2BCPF由0yF，得cos30cos600ABFGG故(13)7.3(kN)2ABPF注意此处先设AB，BC两杆受拉，算出结果为负值，说明它们实际受压。投影轴可任选，常选与某些未知力相垂直的轴，一般可避免解联立方程组。例9.5图(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆端，盘面与杆垂直。竖直杆AB长为l，在图示载荷下试确定轴承A，B的约束力。解研究整体，因主动力是两个力偶矩大小为MFd的力偶，A，B两处约束力必构成一力偶与主动合力偶相平衡。由力偶矢三角形(见图(b))知，约束力偶矩ABM的大小为2ABMFd故起重装置滑轮B受力图2ABABMFdFFll其方向如图(a)所示。例9.5图注意运用力偶系平衡的几何条件解空间三力偶问题十分简便，先由力偶矩矢三角形，求出未知力偶矩矢的大小和方向，再用右手法则确定约束力的方向。例9.6如图所示曲杆有两个直角，90ABCBCD，且平面ABC与平面BCD垂直，杆端D为球铰支座，A端由轴承支持，三力偶矩矢沿AB，BC，DC轴向作用，若,,ABaBCbCDc，且已知2M和3M，试求平衡时力偶矩大小1M及A，D处约束力。解研究曲杆整体，由A处的约束性质及力偶平衡理论知，A，D处的约束力必构成力偶，如图所示，且,AzDzAyDyFFFF。由0zM，有3DyMFa，故3DyAyMFFa由0yM，有2DzMFa，故2DzAzMFFa由0xM，故132DyDzcbMFcFbMMaa注意多于三力偶的平衡问题不便用几何法；求约束力偶对各轴之力矩时，可按力偶定义(即力偶对各轴之力矩等于组成力偶的两个力对该轴之矩的和)来计算；也可完全按空间一般力系平衡问题求解，显然前者较简单。例9.7如图(a)所示，等截面梁受横向荷载()qx作用，试求该梁垂直于轴线的横截面上内力的平衡微分方程。例9.6图FxF(a)(b)例9.7图解先将整体受力简化为梁的纵向对称面内的平面力系(图a所示)，再简化横截面内力。由于B端为可动铰支座，横截面上不产生轴向内力。取梁的微段dx，其受力如图(b)所示，内力QF(称为剪力)，内力偶M(称为弯矩)是横截面上分布内力的简化结果，且均设为正(内力的正负号不能按坐标定出，应重新规定，以使同一截面左右两边的同一内力正负相同)，()qx可视为常量(因dx很小)。由0yF，得()[()d()]()d0QQQFxFxFxqxx由0CM，得d()[()d()]()d()d02QxMxMxMxFxxqxx略去上式中的二阶微量d()d2xqxx，得(9-12)这组方程由刚体平衡条件导出，是材料力学和结构力学中分析梁内力的基础。例9.8试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方程。设单位质量体积力为f。解在静止流体中取一个无限小的六面体微团，边长分别为dx,dy,dz，受体积力VFf及6个侧面上的表面压力作用，考察左右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的平均压强。由0yF，有dd(d)ddddd0yppxzpyxzfxyzy故10ypfy同理可得1010xzpfxpfz例9.8图dppyypdzd()()dd()()dQQFxqxxMxFxx（9-12）故有1()xyzpppfffxyzijkijk即1pf(2-13)这就是静止理想流体的平衡微分方程，也由刚体平衡条件导出，是欧拉于1755年首先提出的。例9.9悬链线。如图(a)所示柔软绳索两端对称悬挂于重力场中，已知绳索单位长度的重量为q，试求平衡时绳索的形状。例9.9图解取绳索最低点O为坐标原点，研究任意OA弧段索，其受力如图(b)所示。由0xF，得0d()dTTxFxFs(a)由0yF，得d()dTyFxqss(b)其中，s为OA弧长。由式(a)和(b)消去()TFx，得0ddTyqsyxF两边对x求导数，得002dd1()ddTTyqsqyxFxF分离变量后，从O到A点积分得0arcshTqyxF即0sh()TqyxF再积分，并由0x时0y，得00(ch1)TTFqxyqF(2-14)此即为悬链线方程。其中0TF可由OC段平衡求得。§9.2物体系统的平衡问题工程系统通常由多个物体组成，要应用平衡条件求出平衡系统中各构件的全部未知外力