奥赛辅导（十一）

第1页共31页第十一讲磁场对电流的作用和电磁感应一、知识点击1．安培力作用下的载流导线和载流线圈⑴安培力：长为ΔL电流强度为I的载流导线处的磁感应强度为B，电流元的方向与B之间的夹角为θ，则电流元所受安培力为F＝IBΔLsinθ，力的方向可由左手定则确定．⑵磁场对载流平面线圈的作用：匀强磁场中，平面载流线圈各电流元所受力的矢量和为零，即0F，但线圈受一力矩作用，其力矩大小为M＝ISBsinθ2．带电粒子在磁场中的运动⑴洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力称之为洛伦兹力．若带电粒子所带电量为q，速度为，则运动粒子在磁感应强度为B的一点所受洛伦兹力的大小为sinfqB。洛伦兹力总是与粒子运动速度垂直，洛伦兹力不做功，它不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使其运动路径发生弯曲．⑵带电粒子在匀强磁场中的运动：设有一匀强磁场，磁感应强度为B，一电量为q、质量为m的粒子，以初速度进人磁场中运动．（a）∥B，sin0fqB粒子在磁场中作匀速直线运动．（b）⊥B，fqB，方向垂直于和B，带电粒子在磁场中作匀速圆周运动。圆周运动的半径mRqB周期222mRmqBTqB（c）和B成一任意夹角α，我们把分解为与B平行的分量cos和垂直第2页共31页分量sin。粒子所作的运动是上面两种运动的叠加，粒子作螺旋运动，螺旋半径sinmRqB，运动的周期2mTqB，其螺距2coscosmhTqB3．电磁感应的基本定律感生和动生感应电动势⑴法拉第电磁感应定律：闭合回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量的变化率t成正比。这就是法拉第电磁感应定律，即Kt，或t楞次定律：闭合导体回路中感应电流的方向，总是使得感应电流所激发的磁场阻止引起感应电流的磁通量的变化，这个结论就是楞次定律．⑵动生电动势和感生电动势：法拉第电磁感应定律告诉我们：只要闭合回路的磁通量发生变化，回路中就有电动势产生，而不管磁通量的变化是怎样引起的．而cosiiiBS，造成中变化的原因有下列三种情况：第一是B、θ不变，但回路的一部分切割磁感线运动使得回路面积改变导致Ф变；第二是B、S不变，但θ变，即回路在磁场中转动，使回路所包围的面与B的夹角改变而导致Ф变；第三是S、θ不变，但B变导致必Ф变．第一、二种情况是由于线圈回路的一部分或整体在磁场中运动使得通过回路的磁通量改变而产生感应电动势，这类感应电动势称之为动生电动势；动生电动势对应的非静电力是洛伦兹力，当ab导体在匀强磁场中向右以速度v运动时，自由电子受到向下的洛伦兹力的作用：feB，而其电动势为单位正电荷从负极通过电源内部移到正极过程中洛伦兹力所做的功：AeBlBlee。若导线的方向不与B垂直，而夹角为θ时，则导线内的动生电动势为sinBl。第3页共31页第三种情况是磁场的变化使得回路的磁通量改变而产生的感应电动势，这种感应电动势称之为感生电动势．4．自感和互感⑴自感：因线圈内电流变化而在线圈自身引起感应电动势的现象称为自感现象．所产生电动势称为自感电动势．根据毕奥一萨伐尔定律，通过线圈的磁通量与线圈中电流成正比：LI根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为ILt自⑵互感：1，2线圈中的电流I1和I2可在线圈2，1中产生磁通量，而当I1和I2变化时，可在线圈2和1中产生感应电动势，这种现象称为互感现象，所产生的感应电动势称为互感电动势．设线圈1中的电流I1在线圈2中产生的磁通量为Ф12，线圈2中的电流I2在线圈1中产生的磁通量为Ф21，根据毕奥－萨伐尔定律：Ф12=MI1Ф21=MI2根据法拉第电磁感应定律：12IMt21IMt二、方法演练类型一、利用配速度的方法处理带电粒子在电磁场中的复杂运动的问题。例1．在空间有相互垂直的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场。如图11一1所示，一电子从原点静止释放，求电子在y轴方向前进的最大距离。分析和解：虽然电子在O点速度为0，但也可设想其具有沿x方向的速度和逆x轴方向的，满足BeeE，EB与所对应的洛伦兹力沿y轴反方向，与电子所受电场力平衡。与对应的洛伦兹力与y轴同向。电子的运动可视为一个速率为的沿x轴正向的匀速直线运动和一个速率为的匀速圆周运动的合成，对匀速圆周运动有2eBmR，而2myR22mmEyeB第4页共31页例2．如图11一2所示的无限长平行板中存在一均匀电场EEi和磁场BBK，今有一质量为m，带有正电荷q的粒子从缝隙A以初速0进入此平行板，假定此粒子的初速0保证它能靠近右侧的平行板而不与其相碰，求：（1）此粒子在P点处的曲率半径；(2)若粒子的初速为0，且坐标原点选在A处，求此粒子在平行板中的运动方程。分析和解：（l）这又是一个载电粒子在电磁场中运动的题目，我们采取配一对大小相等、方向相反的速度的方法解这道题，设粒子有一沿y轴的速度1和沿y轴负方向的速度1，速度1所对应的洛伦兹力刚好与粒子在电场中受到的电场力平衡。1qEqB，1EB这样粒子一方面以1的速度沿y轴正方向作匀速直线运动，另一方面则以2做匀速圆周运动，而2为22222010()EB当粒子到达P点时，2的方向也沿y轴正方向，与1同向，22120()PEEBB此时粒子的向心力F为洛伦兹力和电场力的合力：PFqBqE由2PFm可得P点曲率半径为2222220022222002()()(())EEEEmmBBBBEEEqBqEqBBBB（2）给粒子配一沿y轴正方向的1和沿y轴负方向的1，1EB，则粒子第5页共31页一边沿y轴正向作匀速直线运动，一边以1的速度在磁场中做匀速圆周运动，其半径12mmERqBqB所对应的转动角速度1qBRm则粒子运动方程为2(1cos)mEqBxtqBm2sin()EmEqByttBqBm0z类型二、利用微元法处理长直电流与圆形电流的相互作用的问题。例3．如图11一3所示，有一无限长直线电流I0，另有一半径为R的圆形电流I，其直径AB与此直线电流近似重合．试求（1）半圆弧AaB所受作用力的大小和方向；（2）整个圆形电流所受的作用力的大小和方向。分析和解：（1）半圆电流所受磁力见图11一3(b)，在AaB弧上的C点取第6页共31页一电流元Il，其所在处的磁感强度方向垂直纸面向里，大小为000022sinIIBXR则电流元Il上所受到的安培力为002sinIIfIBllR，方向沿径向。现将f分解到x轴和y轴00sin2xIIfflR，00cos2tanyIIfflR考虑到对称性，0yf000000222xxIIIIIIffflRRR，方向沿x轴正方向。（2）由于左半圆AbB的电流与右半圆AaB的电流等值反向且与I0对称，所处空间的磁感应强度也是对称反向的，故两半圆所受安培力等值同向，都沿x轴正向，那么00AaBAbBfffII类型三、利用圆电流近似处理为无限长载流直线的方法处理对称圆形电流间的相互作用的问题。例4．（1）图11一4所示是两根相同的导线环A与B。中心都在z轴上，两导线环分别位于平面zh。为了使两环互相排斥，它们通的电流方向应是相同还是相反？（2）一个通以电流的导线圆环能在不用任何器械的情况下漂浮在水平的超导平面之上。假设A就是这样一个均匀圆环，它的质量为M，且它的半径r远大于它和超导平面的距离h，平面z=0就是超导平面．证明达到平衡时的高度，即导线环A离超导平面的距离2002rIhMg。（3）如果飘浮的环在垂直方向上振动，求振动的周期。分析和解：（1）因为rh，所以可将两导线环看作两根长的平行导线，要它们相互排斥，电流方向必须相反。（2）因超导体内磁感应强度为零，为抵消A产生的磁力线穿过超导面，即在超导面下，与A对称处有线圈B，其中电流大小与A中相同，而方向相反。A与超导面的作用相同第7页共31页于A、B两线圈的作用，把两环看作两根长的平行导线，因而A所受的磁场力为2002222mIIrFIlBIrhh当平衡时磁场力应等于重力Mg，所以2002IrMgh，即2002rIhMg。（3）在平衡位置附近，可令0hhh，h为一相对平衡位置的小位移，而合力等于重力和磁场力的合成，即22200020000(1)2()22mIrIrIrhFFMgMgMghhhhhh振动的角频率为：2020002IrMgghMhMh振动周期为：022hTg类型四、带电粒子在感生电场作用和变化的磁场作用下做加速圆周运动的问题。例5．一个长的螺线管包含了另一个同轴的螺线管（它的半径R是外面螺线管的一半）。它们的线圈单位长度具有相同的圈数，且初始时都没有电流。在同一瞬间，电流开始在两个螺线管中线性增长。在任意时刻，里边的螺线管中的电流为外边螺线管中的两倍，它们的方向相同。由于增长的电流，一个初始静止的处于两个螺线管中间的带电粒子，开始沿着一根圆形的轨道运动（见图11一5）。问圆的半径r为多少？分析和解：在t时刻外边螺线管中的电流为Ikt，在里边的螺线管中的电流为22Ikt，其中k是一个常数。由这些电流产生的磁场在外边螺线管中为0Bnkt，而在里边螺线管中为3B，其中n为单位长度上螺线管的圈数。由半径为r的粒子轨道所包围的磁通量为2222022)RBrBRrnkt（第8页共31页感生电场的大小可以从磁场随时间的变化率计算得出：2202(2)ErRrnkt，因此220(2)2RrnkEr带电粒子由磁场限制在它的圆形轨道上，因此，从作用在它上面的力的总的径向分量为零，我们可以得到2mqBr①根据公式tmaqE，粒子由合力的切向分量沿着它的圆形轨道加速，其中m是质量，q是粒子的电荷。当电场力的大小恒定时，粒子的速度随时间均匀地增加，220(2)2tqRrnkqEatttmmr把上式和B的值代入方程①，我们得到22002(2)2mqRrnktqnktmr满足上式的条件为222(2)12Rrr，即2rR类型五、运用“虚位移”方法和能量守恒解电磁感应和磁场能的有关的问题。例6．如图11一6所示，悬挂着的弹簧下挂一重物，其长度L=1m，直径D=0.04m，劲度系数K=0.5N/m，一共有700匝，如给弹簧通以I=2.5A的电流，则重物平衡位置将作微小变化，试求此变化量。分析和解：视弹簧为无限长螺线管，则内部磁感应强度为0NBIl（0为真空中磁导率）故磁通量为2204NDNSBILIl①故2204NDLl②设通电达稳定后，弹簧缩短x，长度变为1l，则自感系数为2222001144()NDNDLllx③第9页共31页当系统处于平衡状态时，假设重物受到一微扰，下降了(0)ll，考虑系统的功能情况。机械势能的变化为222111()22Ekxlkxkxllkxl④其间自感系数也有变化，由③式22222200021114()44NDNDNDLlllll⑤故磁场能量变化为22222022111()228NDIELIILll⑥同时，L的变化使弹簧两端有了电压，恒流电源将对系统做功，由电磁感应定律，有()LIILUttt故恒流电源做功为22220214NDILWUIttIltl⑦由能量守恒，有12WEE，22222200221148NDNDIlkxlIlll故2222