大学普通物理 第四章 动能和势能

217第四章动能和势能思考题4.1起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？[解答]在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升mgF；匀速上升mgF。4.2弹簧A和B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？[解答](1)BAKK拉长同样距离2BB2AAK21AK21A｝BAKK,BAAA.(2)AAAKFx,BBBKFx,BAFFAAAKFxBBBKFxBBAAKKxxBFBBKO原长AAFAKO原长218B2B2B2BB2BBBA2A2A2AA2AAAKF21KFK21K21AKF21KFK21K21Axx｝BAKK,BAAA4.3“弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。[解答]与零势能的选取有关。？？4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？[解答]设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？[解答]（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。（2）人体的动能是内力做功的结果。（3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？[解答]为零。做功的条件是有作用在物体上的力，并且物体在力的方向上有位移。而静摩擦力只是一种运动趋势，物体在静摩擦力方向上没有位移，所以静摩擦力所做的功为零。4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和219是否和参考系有关？[解答]（1）有关。如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。（2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。[解答]（1）弹簧原长为势能零点2PK21ExA??)EEK21dK0E(0PP20pxxxx设0xx处势能为零。（)00x？xxxxxxdkEE00Pp202Pk21k21ExxxF木板SF木块木板木块原长o)(Epxxo20k21xx)(EPxo220（2）重力势能：0y处势能为零（mgyy）？？0hy处势能为零0yhPhPymghmgymgdyEE000pmghmgy)y(E0hy处势能为零0yh-)P(-hPymghmgymgdyEE00万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零rmmGE21p习题4.2.1实验题4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？[解答]人作用到传送带上水平方向的力，大小为50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。N=F=mg×=50kg×9.8N/kg×2m/s=980w4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为321kkf，表示弹簧的0mgh0hy)y(Epo0h0hy)y(Epo221伸长量，1k为正。（1）研究当0k,0k22和0k2时弹簧的劲度ddf有何不同；（2）求出将弹簧由1拉伸至2时弹簧对外做的功。[解答]（1）根据题意321kkf所以弹簧劲度为2213kkddf当0k2时，由于0k1，所以0ddf，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而增加。当0k2时，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而减小。当0k2时，1kddf弹簧的劲度不变。以上三种情况的弹簧劲度如右图所示：（2）将弹簧由1拉伸至2时，弹簧对外界所做的功是：2122441212122122222212122121222212212111A=(kk)dk()k()2411k()k()()2411kk()()22当12时，A0.拉伸，外界做功，弹性力做负功。当12时，A0.缩短，弹性力做正功。4.2.4一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳。证明力F对线做的功等于线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。[解答]设T为绳作用在小球上的力。力T对小球所做的功为TSATdr将dr分解为沿r方向和与r垂直方向的两个分位移12dr,dr(r为对O点的位ddf0k20k20k21k222矢)如图：T121SSSA=TdrTdrdrTdr又∵绳子不可伸长∴1FTdrd（d是力F的作用点的位移）∵STdrFd4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切tg0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？[解答]取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力mg、牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示：上坡受力分析下坡受力分析上坡时：∵卡车作匀速直线运动∴Fmgsinf0F=mgsin0.04mg卡车的功率NF(mgsin0.04mg)上上2tgmg0.04mg)tg1上=（下坡时：∵卡车作匀速直线运动∴F+mgsinf0F=mgsin0.04mg卡车的功率NF(mgsin0.04mg)下下2tgmg0.04mg)tg1下=（由题意：NN下上1dr2drdrTOrfFRmgfFRmg22322tg0.04tg1()45(km/h)tg0.04tg1下上4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率06m/s。求力T将木块自A拉至B点的速度。[解答]Nmg、做功为零由动能定理：22BAAB11mmTd22r式中44T22AB004ATdTcosdTd(4)3xrxxx利用积分公式：2222uduu+au+a则上式4T220(4)A50d(4)(4)3xxx224050(4)3100(J)x2ATBm2A20.9(m/s)m注：关于T做功还有一种解法:22[43-3]2100()ABTdrTTJ其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。3m4mTABxxT4m3mmgNABo2244.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度02m/s，求木块被拉至B时的速度。[解答]重力做功5.88()WABAWdrWABJ60(20.5-0.5)12.43()FAJ22BAWF11mmAAA22总2AB2Am3.86(m/s)m总方向向上4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度0向右运动。弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为2022kmg11kmg。[解答]由：2202011Amm221A0m2mmkl0FAB0.5m0.5m045FAB0.5m0.5m045NTmgmmkl0xxo2250Amgkdxxxx1mgk22xx所以：2011mmgk222xx解一元二次方程：由220242kmmgmg1(mg)kbbacxax舍去负号：202kmmgmg1(mg)kx2022kmg(11)kmg4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为1V和2V，膨胀前的压强为1P。活塞初速度为0。（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强与体积满足PV恒量。（2）若气体压强与体积的关系为/PV恒量，为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）[解答]（1）2211vv22112011vv1pvv11mmpdvdvpv22vvln2112012pvvmvln（2）21v2211-1111021vpvpv11mmdv(vv)22v1-11-2112102pv(vv)(1)m4.3.5O坐标系与O坐标系各对应轴平行。O相对于O沿x轴以0作匀226速直线运动。对于O系，质点动能定理为222111Fxmm22，1,2沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于O系，动能定理也取这种形式。[解答]∵0txx00t,=xx∴0FFFtxx0FFFtxx∵22222120101111mmm()m()2222222102111mm(mm)22∴2202102111FFt=mm(mm)22x由动能定理得：21Ft=mm∴0021Ft=(mm)最后可得：222111F=mm22x说明相对于O系，动能定理的形式不变。4.3.6带电量为e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为V的电场加速。设偏转磁感应强度为B，偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为22eBRm2U.[解答]正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压V的电场加速。正离子获得的动能为2K1EmeV2(电势能)xyxyzozo0tCOFˆn227正离子的速度zeVm由于正离子在磁场受到洛仑兹力F=qB的作用而发生偏转2meBR∴2eBReBReBRmzeVm即：22eBRmzV4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。[解答]以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力11wmg，框架重力2w，轻绳拉力T和作用在框架上的水平力F。其中轻绳的拉