几何光学例题分析

几何光学1、下列5个盒子中有光学元件，盒的左、右侧壁可透光。单色平行光入射，透光有三种情况，如图。试求这三种情况可能对应哪种盒子。凹透镜(A)等腰直角棱镜（B)棱镜（C)060两个等腰直角棱镜(D)045两个等腰直角棱镜(E)045(1)(2)(3)(4)解：（1）盒内为600棱镜（C）.（2）盒内可能为（D）或(E)，光在棱镜的斜面产生全反射。（3）对应（B）,光受到折射，分为偏下和偏上两束平行光（4）对应（A），凹透镜使入射平行光发散。2、光线经等腰棱镜折射后,偏向角δ与入射角i的关系如图1,求棱镜顶角α和折射率.′答案:设等腰棱镜顶角为α,由几何关系(如图2)'ii最小偏向角im2，由题图1知030m，对应的入射角045i。因此，0006030902mi由折射率与顶角、最小偏向角的关系：2260sin)23060sin(2sin)2sin(000mn3、球形玻璃容器中充满水，折射率为n.从外面观察球中体，试问放大率是多少？假设玻璃容器壁厚可忽略。OCA1ARii1解:应用近轴光线折射率'ini,用作图法，物AC，顶点A发出一束光AO，在O点折射，折射光反向延长线与物AC的延长线相交于A’.像长为A’C。放大率nRiRiACCA''.4、如图1所示，一条平光线通过折射率为1.50、顶角为4的棱镜后射在一个竖立的平面镜上，欲使反射的光线变成水平方向，必须将平面镜转过多大的角度？棱镜反射镜4图1图2γδαγ解：棱镜顶角α=4º较小，偏转角δ约为24150.11n由图可见，要使反射光变成水平方向，必须将镜子转γ角，其中125、横截面为矩形的玻璃被弯成如图1的形状，一束平行光垂直地射入平表面A，试确定通过表面A进入的光全部从表面B射孔液出的R/d的最小值，玻璃的折射率为1.5.RDAB图1RdAB图2α解：如图2从A内侧入射的光线与内圆相切，它入射到外圆面的入射角为最小，设入射角为α，并且反射光线与内圆相切，其余光线由反射定律和几何定理知，光线在圆面上一会但发生全反射后将连续发生全反射，并且不与内侧圆相交。所以，只要角大于全反射角，则入射光线可全部由B端射出而没有光线从其他地方透出，则n1sin，而dRRsin，所以ndRR1，解之得11ndR。则215.1111minndR6、用掺杂的方法增加玻璃的折射率，做成一个等厚变折射率透镜。现有一半径为a、厚度为d的圆盘，使之变成等效焦距为f的会聚薄透镜，应如何改变其折射率，写出折射率的径向分布函数n(r).dfOr解：取极坐标如上图，r=0时，n(0)=n0，n0为未掺杂玻璃折射率。透镜将平面波转变为会聚球面波，由等光程性有21220)()(frdrnfdn这里假定周围介质为空气，空气的折射率为1，上式写成frfdnrn2201)(当fr时，由泰勒展开近似有dfrnrn2021)(7．证明：光线相继经过几个平行分介面的多层介质时，出射光线的方向只与入射方向及两边的折射率有关，与中间各层介质无关。证：因为界面都是平行的，所以光线在同一层介质中上界面的折射角相等。如图所示，由折射定律有n1n2n3nk-1nki1i2i2'i3i3'ik-1ik-1'ik1212sinsininni1312323sinsinsininninni……………..1111sinsinsininninnikkkkk由此可见，最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关。8．顶角α很小的棱镜称为光楔。证明光楔使垂直入射的光线产生偏向角1n，其中是光楔的折射率。αδi2i2'证明：由于光线垂直入射，帮光线在第一个界面不发生折射。仅在第二个界面有折射如图，根据折射定律22'sinsiniin以及几何关系2i，故2'sinsinin当α很小时，有22''sin,sinii则上式可写成2'in所以偏向角为1'22nnii这个近似公式，在干涉、衍射、偏振中经常要用到。9.如图1所示，两个顶角分别为0160和0230的棱镜胶合在一起（090BCD）。折射率有下式给出：2111ban2222ban其中1.11a25110nmb3.12a242105nmb(1)确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长0，并求出此情形下的折射率n1和n2（2）画出入射角相同的波长为红、0和蓝的三种不同光线的路径；（3）确定组合棱镜的最小偏向角（对于满足（1）中条件的波长）；（4）计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。φ1φ2n1n2ABDC图1ABDC图2λ红λ0λ蓝解：（1）如果满足)()(0201nn，则波长为0的光线从任何方向入射在AC面上将不发生折射，所以0满足关系式：20222011baba解得nmaabb50021120在此情形下折射率为5.1)()(0201nn（2）对波长比0长的红光，n1和n2均小于1.5。对波长比0短的蓝光，n1和n2均大于1.5。所以入射角相同的、波长为红、0和蓝的三种不同光线经AD面折射后在介质中的折射光线如图2中所示，蓝折射角最小，红折射角最大。再讨论一下光线抵达AC面的折射。对于波长0的光，有)()(0201nn即22021201baba对于波长红的光20222202122222021120112121红红红红红红红红ababanababan因122020aa,红,所以红红12nn同理，对于波长蓝的光)()(蓝蓝12nn因此，在图2中，红经AC面的折射角小于入射角，波长红的光经AC面将向上偏。同理，蓝经AC面的折射角大于入射角，波长蓝的光经AC面将向下偏。三种不同波长的光经BC面再次发生偏折，如图2中所示，波长红的光进一步向上偏，波长蓝的光进一步向下偏。（3）对波长为0的光，组合棱镜可看作顶角为300、折射率n=1.5的单一棱镜。我们知道，最小偏向在对称折射时发生；即图3中的21时发生。偏向角满足'.)sin.arcsin(sin.sinsin4115691530155123022215510000021210n1212图3ABDC图4030030060（4）利用图4中的数据，依题意有关系02011030sin)60sin(,sin30sinnnn联立消去后得1322221nnn再代入题给的1n、2n表达式，写成波长的方程0326)13(2221222211422221bbbabbaaaa这是2的二次方程，代入题中所给1a、1b、2a、2b的值，求解得到m18.110．一玻璃对波长为0.70A的X射线的折射率比1小81060.1，求X射线能在玻璃外表面发生全反射的最大掠射角。解：X射线在下班低频表面发生反射时临界角ci，对应的掠射角cmi90由81060.11sinnic8975.89ci150.61025.0m’11、苏格兰球反射器是一个折射率为n的球，其半球面为反射面。选择适当的折射率可使前半球表面的后焦点正好落在后半球面的顶点，从而使光线反向返回。（如图所示）（1）计算它的折射率；（2）试讨论与其反射效率有关的问题O1O2解：（1）在空气中（n0=1）单球面折射焦距公式为rnnrf21得n=2（2）与四面直角体不同，苏格兰反射器并没用到全反射原理，而是利用球面反射镜，因而损失部分能量，当光束口径较大时，还产生球差。忽略对光的吸收，光进入苏格兰球又返回空气，经过两次折射、一次反射。设折射面的能量投射率为T，反射面的能量反射率为R，则返回空气的能量效率为RT2其中89.0)1(42nnT，反射率R随镀层材料及厚度变化，若为足够厚的银膜，R可达0.95。这时有75.095.089.02.12、如图1所示，一条光线进入折射率为n的球状水滴（1）在后表面上光线的入射角为多少？这条光线是全反射还是部分反射？（2）找出偏向角δ的表达式；（3）求出对应最小偏向角δ时的入射角度.（提示：211)(arcsinxdxxd.）φδα图１φδα图2Oxφ--α解：（1）,,,,x如图2所示。2,)(xx.sinsinn，即nn1sin1sin，这条光线是部分反射。因入射角小于全反射；临界角n1arcsin。（2）242x.（3）21,024dddddd.又)sin1arcsin(n，所以2222222222cos4sin11cos4sin1121cos1.sin111nnnnnndd最终得3/)1(cos22n13.(1)一个凹反射镜将垂直于其光轴的平行光会聚在20远处。（2）将凹面镜灌满水，（34n）。如图1，图2，若光通过一张白卡片上的一个针孔射向反射镜，卡片到镜多远才能在卡片上开成针孔清晰的像？图1聚焦在20cm图2卡片x=?解由（1），该凹面镜的焦距cmf200（在空气中），设装水后该镜焦距为bf，一束傍轴光线在平面折射，物距y与像距'y关系为ynny''式中.1,34'nn而如题意cmfy200，所以cmy15'。由几何光学知，物距等于二倍焦距时，像距也等于二倍焦距，且物、像大小相等。所以，只有cmfxb302时，卡片上的孔成像也在卡片上。14、半径为R的实心球内有一小气泡S，当观察者的视线通过气泡和球心时，气泡似距球面R/2.玻璃折射率为n=1.5.求此气泡沿此方向到球面的真实距离。yArDiθαβxBS’SOR解：设眼睛、球顶部、球心位置分别为A、B和O，如图所示。设D是非常靠近B点的球面上的一个点，气泡S所发的光经D点折射后能进入眼睛，为表明几何关系，只能夸大地作图。因此图中所标各角度是非常小。D点坐标为x、y。泡的视在位置为S’，2'RBS。折射定律可写为rniirRxSBhhxRxRx,,,22/联立得RhRRxhxRxRxirn/1/1/12解之得RnnRh53115、光线在垂直于玻璃半圆柱轴线的平面内，与半圆柱平面的法向成45º的方向射到此面上，如图所示，已知玻璃折射率2n，试问光线将在哪能些地方离开半圆柱体下表面射出。Oβφί045090解：如图所示，半圆柱体下表面各点的位置可用来表示。折射定律为sin45sinn2n得β=30º，即光入射到平面后折射角均为30º。但从左至右的光线射到半圆柱面的入射角i却因位置不同而改变，只有在圆柱面上不发生全反射的光才能从圆柱面射出。考察光经平面折射后进一步入射到圆柱面上角所规定的位置，入射角i满足12090180i玻璃到空气全反射角满足1sincin451arcsinnic考虑到光线射至平面上O点的左侧和右侧使折射光线入射到圆柱面上分别在柱面法线的左侧和右侧，以不被全反射的条件是4512045所以有16575只有在此范围内光才可以从圆柱下表面射出。16、一个半导体砷化镓发光二极管，它的发光区为直径d=3mm的圆盘，发光面上覆盖一折射率n=3.4的半球形介质，如图1。试问：要使发光盘区域内的全部光线在球面上都不发生全反射，介质半球的半径R至少应多大？OBAR图1OBA图2drmax1)(1P111BOBA图3max1)(max解