几何光学试题与解答

第三章习题3—1试证双镜两次反射定理:光线被两个镜面作了两次反射时,反射线和入射线的交角,等于两个镜面交角θ的两倍。解：由几何学外角公式)(221ii而212122iiii故23—2两面镜子E和E1，它们夹角是15°，假如一平行光束沿镜面E的垂直方向投射到镜面上去，试问光束可以在两个镜面之间反射几次？解：在第五次反射时的反射角为751555x也就是说反射光束和镜面E平行，因此不可能再入射到E上去，即不会发生反射现象。3—3长2/3米的平面镜竖直挂在墙上，镜的上边离地4/3米。一人立于镜面，其眼离地5/3米，离墙1米，求地面上能使此人在镜内所见到的离墙最近及最远之点，并作光路图。解：，设此人在镜内所见到的离墙最近及最远点分别为1x和2x，由题意可知35h米a=1米321h米342h米由△EFG′～△ACG′及△EFD′～△BCD′得222xhxah及111xhxah解得42x米321x米3—421EE是一块平玻璃板的两个平面，n是空气的折射率，n是玻璃的折射率。和是第一个界面处的入射角和折射角，d是玻璃的厚度，1d是折射线和入射线之间的位移距离（侧向位移），2d是折射线和入射线的延长线被法线所截的距离，求1d和2d。解：从几何关系可知ddddTTcos)sin(cos)sin(1121又ddddcossinsincoscossincossin)sin(sin12根据公式（3-1），即nnsinsin得.coscos2dnndd当角和都很小时，可近似地认为1coscos故dnnnd23—5水槽中盛水，深20厘米，槽底置一点光源。水的折射率为1.33，水面上浮一不透光的纸片，使人从水面上无论哪一角度去看时都看不到光，计算这纸片最小面积应该是多少，形状应该怎样？解：如图3—33所示，点光源发出的光在纸片边缘发生全反射，故人看不见光。在公式（3—1）2211sinsininin中，cii1。（临界角），.1,33.1,2212nni故752.033.112sinsin12nnic纸面应是圆形，其直径为6.45)752.0(1752.020222chtgiD厘米其面积为1.163342DS厘米23—6一层2厘米厚的乙醇（36.12n）浮在4厘米深的水（33.11n）上，沿着正入射方向向下看时，水底距乙醇层表面的象似深度。解：设水和乙醇的实际厚度分别为1h和2h；水、乙醇的折射率分别为,,21nn空气的折射率为n.从乙醇中看水底的象似深度由公式（3—2）得为1211nnhh从空气中看乙醇和水的总的象似深度为221)(nnhhh故nnnhnhnhnnhnnh21211221212=36.133.102.033.104.036.1=0.0448米=4.48厘米3—7玻璃棱镜的折射棱角A为60°，对某一波长的光其折射率n为1.6。试计算（a）最小偏向角；（b）此时的入射角；（c）能使光线掠过棱镜的侧面时的最小入射角。解：（a）将A=60°，n=1.6代入公式（3—1）和（3—4），得2sin2sin0AAn得最小偏向角6054arcsin22sinarcsin20AAn6146608532（b）将最小偏向角0及A代入公式（3—4）得Ai102得8532606146201Ai（c）如图3—35所示，令210i时所对应的入射角为10i则根据公式（3—1）14386.11arcsin6.11sinsinsinsin2102210iniiini而912122iAi由公式（3—1）210sinsinini得4335)5816.0arcsin(9121sin6.1arcsin(10i3—8如图3—36（a）所示的是一种恒偏向棱镜，它相当于两个30°—60°—90°棱镜和一个45°—45°—90°棱镜，其折射率为1.56。一条光线从a点处进入棱镜，然后在棱镜中沿光路ab行进，ab平行于cd线。（a）试绘出这光线的光路图，从棱镜的左外方开始，经过棱镜，然后折射到空气中。（b）试证明在空气中原来入射的方向和最后出射的方向间的夹角为2。解：（a）其光路图如图3—36（b）所示（b）由折射定律公式（3—1），得)30sin56.1arcsin()30sinarcsin()30sin56.1arcsin()30sinarcsin(3nn由图3—36（b）可知90)90(313—9一物体在曲率半径为12厘米的凹面镜的顶点左方4厘米处，求象的位置及横几放大率，并作出光路图。解：高斯法：由公式（3—7）得62rff厘米，s=—4厘米代入公式（3—8）fss111得,1214161121srs求12s厘米。由横向放大率公式（3—14）3412nnssnn（∵由球面反射得)nn牛顿法：x=2厘米，6ff厘米，代入ffxx式，得18236xffx厘米这表示象点在象焦点右方18厘米处，即在球面镜顶点右方12厘米处，为一放大的正立的虚象。横向放大率公式（3—15）3618xffx3—10一个高为5厘米的物体放在球面镜前10厘米处，造成1厘米高的虚象。试求：（a）此镜的曲率半径；（b）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：（a）由公式（3—14）得5110)1(yysssnn2s厘米代入高斯式（3—8）得rss2115)10(2)10(222ssssr厘米（b）由r为正可知该面镜为凸的。3—11某观察者通过一块薄玻璃片去看在凸面镜中他自己的象。他移动着玻璃片，使得在玻璃片中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10厘米，眼睛距凸面镜顶点的距离为40厘米，问玻璃片距观察者眼睛的距离为多少？解：由物象公式（3—8）得厘米8401101111ssfs由于经凸面镜所成的虚象和玻璃反射所成的虚象重合，故眼睛距玻璃片AB的距离为242ss厘米3—12两个凹面反射镜M1和M2的曲率半径依次为0.5米和2米，两镜中心O1和O2相距2米，发光点在21OO连线上，1131PO米，计算下列情况中象的位置：（a）由M1、M2反射一次;(b)1M反射后,2M再反射一次.(c)依次经由,,21反射后MM再由M1反射一次。解：（a）由新笛卡儿符号法则，可知将5.01r米和1131s米代入高斯公式（3—8）得)(3311123115.021211111Pssrs实象米（b）将22r米和1232s米代入高斯公式（3—8）得1122121222srs)(5.0s2P虚物成实象米（c）将5.12125.031sr米和米代入高斯公式（3—8）得5.115.02121313srs)(3.03Ps实象米各次成象位置的示意图如图3—39所示。3—13一直径为4厘米的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径2厘米的半球形。长为0.1厘米的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8厘米处。求象的位置及大小，并作光路图。解：已知2,5.1,1rnn厘米，s=-8厘米。代入物方焦距公式（3—10）425.01rnnnf厘米象方焦距公式（3—11）625.05.1rnnnf厘米根据公式（3—5）1sfsf得12)4()8()8(6fssfs厘米因s是正的，故所成的象是实象，它在棒内离顶点12厘米处。横向放大率公式（3—14）ssnnyy由此得象长1.08125.111.0snsnyy厘米3—14欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体而成象在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？解：设球体的直径为D，将2,,DrDss代入球面折射物象公式（3—9）rnnsnsn得)(nnsrn故22DDsrnsn3—15直径为1米的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，水的折射率为1.33。若玻璃缸壁的影响忽略不计，求缸外观察者所到的小鱼的表观位置和横向放大率。解：将50r厘米，50s厘米，33.1,1nn代入球面折射的物象公式（3—9）rnnsnsn得505033.15033.111snrnnns厘米（鱼的表现位置仍在原处）由横向放大率公式（3—14）得33.1)50()50(133.1ssnn3—16玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2厘米，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面原点8厘米处的水中有一物体，利用计算和和图法求象的位置及横向放大率，并作光路图。解：已知2,5.1,33.1rnn厘米。根据球面折射的焦距公式（3—10）和（3—11）得厘米6.1517.066.2233.15.133.1rnnnf厘米6.1717.03233.15.15.1rnnnf将sff,,代入高斯公式（3—5）得厘米5.186.786.17)6.15()8()8(6.17fssfs横向放大率公式（3—14）2)8()518(50.133.1ssnn3—17一物在焦距为10厘米的会聚透镜左方6厘米处，用计算和作图法求象的位置。解高斯法:已知s=-6厘米,厘米10ffss111得61101111sfs厘米15s牛顿法：已知f=-10厘米，4,10xf厘米厘米，运用牛顿公式（3—6）ffxx，得厘米254)10(10xffx由光路图，成虚象在透镜左方15厘米处，即在象方焦点左方25厘米处。3—18有一发光点在焦距为20厘米的发散透镜的象方焦点上，用牛顿公式和高斯公式计算并作图求象的位置。解：高斯法：已知20,20fs厘米厘米代入公式（3—13），故101201201111sfs-10s厘米牛顿法：已知40x厘米，20f厘米代入以式（3—6）故厘米1040)20(20xffx象点在凹透镜左方10厘米处，即在f的右方10厘米处。图3—43中，P是物点，P是象点。3—19薄透镜的焦距10f厘米，是用折射率为1.5的玻璃制成的，求透镜放在水中时的焦距，水的折射主为34。解：将折射率10,5.1fn厘米代入透镜在空气中的焦距公式（3—12）得51)1(111121nfrr将上式代入透镜在水中的焦距公式（3—18）得厘米40516134113423342334342334212122112rrrrrnnrnnnf3—20借助于薄会聚透镜在与其距离为10厘米处得到物体的实象，透镜的折射率23n，然后把物体和透镜浸在水中，但不改变它们之间的距离，象成在距离透镜右方60厘米处，若水的折射率34n，分别求透镜的焦距f。解：已经.60,10,34,2321厘米厘米ssnn透镜在空气中的焦距由（3—12）和（3—13）式确定。ssrrnf1111)1(11211透镜在水