大学几何光学基础

第四章习题4—1近视眼的明视距离为10厘米，眼睛的瞳孔至网膜的距离为2厘米，应配以焦度为多少屈光度的眼镜才能看清无限远之物。解：近视眼的光学缺点是焦度太短，平行光入射时成象在视网膜之前，需要用凹透镜来矫正。因为物距为-10厘米时，能成象在网膜上，即10s厘米，2s厘米，故由公式（3—13）得1061012111f若要看清无限远处之物，即s时应成象于视网膜上，2s厘米，故所配的眼镜应使眼镜的2f与眼本身的焦距1f组成的光具组的合焦距f满足下列条件fss111将s，2s厘米代入上式，得2f厘米。而f与1f、2f的关系由公式（3—26）得2121111ffdfff由于眼与眼镜之间的距离很小，可以认为,0d故1011062111112fff，所以，101f厘米，即应用凹透镜。其焦度为10)(12米f屈光度但眼镜的焦度通常用“度”作为单位，一度等于一屈光度的百分之一。即也可以说应配-1000度的眼镜。负号表示发散透镜。校正视力的示意图，4—2简单放大镜的焦距为10厘米。（a）欲在明视距离处观察物体，物应放大镜前多远处？（b）若此物体高1毫米，则放大的象高为多少？（c）作出光路图。解：（a）若观察时，眼睛在透镜的光心O处，则象距25s厘米，由高斯公式（3—13）得1.7750)25(1010)25(sffss厘米故物应放在放大镜前面7.1厘米处。（b）35.01.0750)25(yssy厘米4—3眼睛的构造可简化为一折射球面，其曲率半径为5.55毫米，内部为折射率等于34的液体，外部是空气。计算其两个焦距。若月球在眼睛的节点所张的角为10，试问网膜上月球的象有多大？解：眼睛的物方焦距和象方焦距分别为65.1655.51341rnnnf毫米=-1.665厘米20.255.513434rnnnf毫米=2.22厘米若月球的张角为10，考虑到折射定律，则nnddy将2.2,34,1,1801dnn厘米代入上式，得29.01803412.2y毫米4—4冉斯登目镜由两个同种玻璃的平凸透镜组成，两者焦距均为36毫米，若两透镜间的距为28毫米。求此目镜的焦距和放大本领，并问分划板应放置在何处？解：根据空气中薄透镜组的公式，已知3621ff毫米，28d毫米，则由公式（3—26）得冉斯登目镜的焦距为毫米45.2936443628362111222121fffdfff冉斯登目镜的物方主平面位置由公式（3—20）可知9.2228363628)36(11dfHHp毫米分划板应放在冉斯登目镜的物方焦点处，即pf，离场镜左方6.55毫米处，其放大本领为49.84529250250fM4—5惠更斯目镜是由两个同种玻璃的凸透镜组成，场镜的焦距是视镜焦距的三倍，两者相隔的距离等于视镜焦距的两倍。若要制造一个放大本领为10的惠更斯目镜，所用的玻璃材料的折射率为5136.1n，试求两块透镜的距离及其曲率半径。解：根据惠更斯目镜的放大本领可得其焦距为5.2102525Mf厘米又由空气中的薄透镜组的焦距公式（3—26）可知5.223)3(21311112222222121fffffffffdfff352f厘米5321ff厘米31022fd厘米应用透镜焦距公式，已知2,5163.1rn。故场镜凸面的半径r由下列方程)1)(0000.15163.1(51r解得5815.2r厘米视镜凸面半径r满足下列方程)1)(0000.15163.1(51r解得8605.0r厘米故两块透镜的距离为310厘米，其曲率半径分别为2.5815厘米和0.8605厘米。4—6一显微镜具有三个物镜，两个目镜。三个物镜的焦距分别16、4、1.9毫米，两个目镜的放大本领分别为5、10倍。设三物镜所成之象都能落在象距160毫米处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？解：由显微镜放大本领公式（4—3）得842109.1160)(最大最大最大最大最大MfsMM50516160)(最小最小最小最小最小MfsMM4—7一显微镜物镜和目镜相距200毫米，物镜的焦距0.71f毫米，目镜的焦距0.52f毫米。若最后观察到的象在无穷边，试求：（a）被观察物到物镜的距离；（b）显微镜的放大本领为多少？解：（a）因为最后观察到的象在无穷远，所以经由物镜成象必定在目镜的物方焦平面上。已知目镜的焦距为5毫米，故第一次成象的象距19552001s毫米。根据物镜焦距71f毫米和象距1951s毫米，由公式（3—13）计算物到物镜的距离为261.71957195711111sfsfs毫米（b）显微镜的放大本领由1s和1s及物镜的横向放大率公式（3—14）可得86.26261.719511ss而目镜的放大本领为5052502502fM目所以显微镜的放大本领为1343目MM4—8一架伽利略望远镜，物镜和目镜之间距离为12厘米。若该望远镜的放大本领为4，试求物镜和目镜的焦距各是多少？解：伽里略望远镜是用发散透镜来做目镜的，且物镜的象方焦点和目镜的物方焦点相重合。故由已知条件可得1221ff厘米421ffM4416221fff即厘米厘米厘米4—9有一光阑孔径为2.5厘米，位于透镜前1.5厘米，透镜焦距为3厘米，孔径4厘米，物长1厘米。位于光阑前6厘米处，试求：（a）入射光瞳和出射光瞳的位置及大小；（b）象的位置，并作图表示。解：（a）因光阑前面没有透镜，直接比较光阑及透镜对物的张角，光阑即入射光瞳。出射光瞳是这光阑为其后面透镜所成的象。设此象离透镜的位置为s，象的大小为y。已知5.1s厘米，3f厘米，代入fss111，得3s厘米。由横向放大率25.13xfyy得525.2yy厘米（b）象的位置的计算：已知5.7)5.16(s厘米，3f厘米，代入物象公式（3—13）fss1115.71311s得5s厘米4—10证明望无镜光具组的放大本领等于入射光瞳与出射光瞳直径之比。解：开普勒望远镜，入镜光瞳为其物镜，出射光瞳为物镜被目镜所成的象。由如图4—16所示的光路图可见：21~MNFFAB，故MNABff:)(:21,但1DAB为入射光瞳（即物镜）的直径，2DMN为出射光瞳的直径，而望远镜的大本领为2121DDMNABffM即21DDM4—11使用50倍望远镜时，为了在网膜上成象的照度不小于用肉眼观察时的照度，望远镜的孔径和焦距应为多少？已知眼睛瞳孔直径为2毫米，焦距为22.8毫米，不计望远镜中光能的损失。解：仅当眼睛放在望远镜出射光瞳的位置，且出射光束的大小等于眼睛瞳孔的大小时，才能接收全部的出射光通量。由上题知21DDM，其中M=50，D2=2毫米，故可得物镜孔径10025021MDD毫米=10厘米，D1即物镜的直径。远物的照度2)(fdE，式中fd是相对孔径。现要求用望远镜观察与用肉眼观察的照度相同，即2211fDfD故11428.22.0102211fDDf厘米，1f即物镜焦距。4—12有一光阑直径为5厘米，放置在薄透镜后3厘米处，透镜的焦距为5厘米，孔径为6厘米，今有一高为3厘米的物PQ置于透镜前12厘米处，试求：（a）对主轴上P点的入射光瞳和出射光瞳的大小和位置；（b）象的位置；（c）作光路图。解：（a）首先计算光阑对其前面的透镜所成的象的位置和大小厘米3s5f厘米由公式（3—13）得5.7215535)3(fsfss厘米由公式（3—14）得5.12yssyy厘米比较透镜L的边缘和光阑的象MM对P点的孔径角MLMLuuarctgarctguarctgu77.175.1925.65.71225.604.14123故透镜为有效光阑，也是整个光具组的入射光瞳和出射光瞳。（b）将12s厘米，5f厘米代入高斯公式（3-13），得象距为57.85125)12(fsfss厘米（c）注意光阑经透镜L成象时，其实图中F是象方焦点，但PQ经透镜L成象时，F为物方焦点。4—13H、H为光具组的主点，F、F焦点，E为对于物点P的入射光瞳，EO为其半径。已知15,5,15,20,2FHHOHFHPEO，物长5.0PQ（单位都是厘米）。作光路图计算：（a）象的位置；（b）象长；（c）入射孔径角；（d）对P点的出射光瞳半径和孔径角。解：（a）将20s厘米，15f厘米代入高斯公式（3—13）得60152015)20(111fsfss厘米（b）由公式（3—14）得5.15.02060111111yssyy厘米（c）04537152arctgPOEOarctgu（d）将52s厘米，15f厘米代入高斯公式（3—13）得5.715515)5(222fsfss厘米出射光瞳的半径可根据（3—14）式得3255.72222yssyOE厘米令OP为象点到出射光瞳中心的距离，则出射孔径角为3325.673arctgOPOEarctgu4—14孔径都等于4厘米的两个薄透镜组成的同轴光具组，一个是会聚的，其焦距为5厘米，另一个是发散的，其焦距为10厘米。两个透镜中心间的距离为4厘米。对于会聚透镜前面6厘米处一个物点来说，试问：（a）哪一个透镜有效光阑？（b）入射光瞳和出射光瞳的位置在哪里？入射光瞳和出射光瞳的大小各等于多少？解：（a）将发散透镜作为物对凸透镜成象，由新笛卡儿符号法则，成象的位置计算如下：4s厘米（物在右方）5f厘米（因物在右方，故象方焦点在左方）20454)5(sfsfs厘米成象的高度为204420yssy厘米所以凹透镜经凸透镜所成的象对物点所张的孔径角2Lu为032211352610622arctgarctgsyarctguL而凸透镜对物点所张的孔径角1Lu62183162621arctgarctgyarctguL因为2Lu1Lu，所以凸透镜为同轴光具组的有效光阑。（b）L1为入射光瞳，其直径为4厘米。L1经L2成的象为出射光瞳，光瞳的位置s及大小y分别计算如下：将S=-4厘米,10f厘米代入高斯公式(3-13),得720104)10)(4(fsfss厘米=-2.857厘米由横向放大率公式（3—14）得出射光瞳的直径y为857.244720yssy厘米注意图中2y为透镜L1的半径作为物经L2所成的虚象。4—15光源的发光效率定义为光通量与输入电动率之比。某灯装在离桌面3米高处，其发光效率为10流明/瓦特，如果在桌面上的光照度等于太阳光不直接照射到的露天地的照度，即约为1辐透，这灯输入电功率应为多少？假设这灯对它的下半球是均匀辐射的。解：千瓦瓦5.561065.5)103(0cos11014.32cos224222REIP4—16在直径为3米的圆桌中心上面2米高处挂一盏200坎德拉的电灯，求圆桌中心与边缘的照度。解：圆桌中心的照度由（4—5）式得5022002E勒克斯=0.005辐透圆桌边缘的照度为6.255.122