高中竞赛辅导-虚位移

第15章虚位移原理15-1图示曲柄式压缩机的销钉B上作用有水平力F，此力位于平面ABC内。作用线平分ABC。设AB=BC，2ABC，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。解：令B有虚位移ABBrδ，而C有铅直向上的虚位移Crδ，如图（a）。将Brδ及Crδ向BC方向投影，为简单起见，以Brδ表示Brδ的绝对值Brδ，以Crδ表示Crδ，则有)902cos(δ)90cos(δBCrr即cos21δδCBrr（1）由虚位移原理得0δsinδNCBrFrFsinδδNFFrrCB（2）将式（1）代入（2）得tan2NFF15-3挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF不动，A、B、D、E、F为铰链，液压油缸AD伸缩时可通过连杆AB使挖斗BFC绕F转动，EA=FB=a。当3021时杆DFAE，此时油缸推力为F。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M。解：由虚功原理：0δδcos1MrFA（1）式中arBδδ（2）A、B的虚位移向AB投影22sinδcosδBArr2tanδδBArr（3）式（2），（3）代入（1）得0δδtancos21arMrFBBFaMFaM21,sin,3022115-5在图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。已知：OC=a，OK=l，在点C处垂直于曲柄作用一力F1；而在点B沿BA作用一力F2。求机构平衡时F2与F1的关系。解：用解析法解，选取为广义坐标，则滑块A的约束方程tanlyAδsecδ2lyA（1）由虚位称原理0δδ)(21AyFaF（2）把式（1）代入（2）得0δsecδ221lFaF因0δ，于是有0sec221lFaF故221cosalFF15-7图示滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动，已知0时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5kN/m。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M？解：解除弹簧约束，代之以弹性力F及F。已知0时弹簧原长为0.3m，在任意角时，弹簧)cos3.06.0(ADABDB，此时弹簧的缩短量为)3.0cos3.0(3.0DB。故弹性力FF)3.0cos3.0(k取x轴沿AB杆，设D点沿杆的坐标为xD，而选取为广义坐标，则滑块D的约束方程为cos3.0Dx，δcossin3.0δ2Dx另外有xB=常量，0δBx由虚位移原理0δδ)(MxFD把F及Dxδ的表达式代入上式得0δδcossin3.0)3.0cos3.0(2Mk2cossin3.0)1cos1(3.0kM把k=5000N/m代入求得mNcos)cos1(sin4503M15-9在图示机构中，曲柄AB和连杆BC为均质杆，具有相同的长度和重量W1。滑块C的重量为W2，可沿倾角为的导轨AD滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡位置。解：取为广义坐标，另作坐标系Axy，设AB=BC=l因)sin(21lysincos2sin)(2sincos2)sin(2sin2lACylllACyC对坐标的变分：δsinsin2δδ)cos(2sinsin2δδ)cos(2δ21l-yllylyC由虚位移原理0δδδ22111CyWyWyW即0δsinsin2)cos(2sinsin2)cos(221lWlllW因0δ，故有0sinsin2)cos(2sinsin2)cos(221lWlllW即1cotcot21sinsin2sinsin2coscos12WW故cot)(2tan21115-11图示均质杆AB长为2l，一端靠在光滑的铅直墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上。欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置，问曲面的曲线DE的形式应是怎样的？解：作坐标系Dxy，由于杆AB只受主动力W作用，根据虚位移原理0δCyW0W0δCy，故yC=常量杆在铅直位置时yC0=l，yC=l杆在任意位置时yC=yA+lcos，即coslylAsin2)cos1(lxlyAA消去得DE曲线方程1)(42222lyllxAA由方程知，DE曲线为中心在（0，l）长短半轴分别为2l和l的椭圆的一部分。如坐标系Dxy向上平移l距离，则DE曲线方程与书中答案一致。15-13半径为R的滚子放在粗糙水平面上，连杆AB的两端分别与轮缘上的A点和滑块B铰接。现在滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F，使系统于图示位置处平衡。设力F为已知，忽略滚动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩M以及滚子与地面间的摩擦力Fs。解：作功力M，F，虚功方程为：0δ2δBAsFRsMAsδ，Bsδ向AB投影：45cosδδBAss0δ)2/(δ22BBsFRsMM=2RF0xF，Fs=F15-15试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。解：将BD杆解除代之以力F及F。令C点有虚位移Crδ，则B点必有虚位移BrδD点必有虚位移Drδ，如图（a）。由虚位移原理0δ90cosδδPDDBrFrFrF即PδδFFrrBD（1）由图（a）可见，ACD框的转轴在A点，CB杆的瞬心在E点故ACADrrCDδδ及EBECrrBCδδ所以1636366δδδδδδ2222BCCDBDrrrrrr（2）由式（1）、（2）得PFFF（拉力）