高中竞赛训练试题

我爱奥赛网α第二套模拟测试题（复赛）姓名学号一、某一构件由两个菱形组成，AB和DE是两根硬杆，各焦点都用铰链连接，大菱形的边长是2l，小菱形的边长是l，现设法使顶点F以加速度a水平向右运动，求：（1）C点的加速度多大？（2）当两个菱形都是正方形，F点的速度为ν时，A点的加速度的大小和方向。二、长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度ω围绕O点转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮的一端固定在杆的A端，另一端悬挂一质量为M的重物C，O、B之间的距离为h，求：（1）当AB绳与竖直方向成θ角时，重物的运动速度；（2）此时绳上的张力为多少？三、一对半径为r的轻轮安装在一根细轴上它们共同以某一速度ν沿图示的平面向右滚动。斜面与平面接触的顶角A处足够粗糙（即轮不会产生滑动），斜面与水平面成α角，要求轮从平面滚动到斜面时不要离开顶角，问ν的最大值为多少？我爱奥赛网四、一架大型民航飞机在降落到机场前撞上一只正在飞行的天鹅，试估算，天鹅转击飞机的力为多少（只要数量级正确即可）？五、有一汽缸，除底部外都是绝热的。上面是一个不计重量的活塞，中间是固定的导热隔板，把汽缸分成相等的两部分A和B，上下各有1mol氮气，现从底部将350J的热量传送给气体，求：（1）A、B内的气体温度各改变了多少？（2）它们各吸收了多少热量？若是将中间的隔板变成一个导热的活塞其他条件不变，则A、B的温度又是多少？（不计一切摩擦）六、两个绝缘的相距较远的球形导体，半径分别为r1、r2，带电后电势分别为ν1和ν2，若用细导线将两个球连接起来，求在导线上放出的电量。我爱奥赛网七、一个正方形的导线框ABCD，边长为l，每边的电阻为R，在它中点处内接一个小一些的正方形线框EFGH，然后在各边中点在内接一个更小的正方形导线框一直下去，直至无穷。如果所有正方形导线框用的导线都是相同的，所有接触点接触良好。求：（1）A、C两点之间的电阻（2）A、B两点之间的电阻八、在一焦距为f的薄透镜的一侧放置一个球心位于主光轴的球面，试证明当球心与透镜光心的距离u以及球面半径R满足一定条件时，此球面通过透镜所成的像也是一球面。我爱奥赛网第二套模拟试题（复赛）答案一、（1）因为OC：CF=2：1，所以C点的加速度ac是F点的加速度的2/3，即3ac=2a（2）A点的加速度由它的切向加速度aA||和法向加速度aA⊥构成由于AC杆的长度不会变化，因此A点的切向加速度应该和C点的加速度的沿AC杆的分量相同，即aA||=aCcos45°aA||=23a为了求出aA⊥，先要设出A点的速度νAνC=2ν/3νA=23因此aA⊥=2229Avvll||AAAaaa二、如图，A点的速度νA=ωL由△OAB可知sinsinLhsinsinhL因为β=22所以cossinsincosMALhvvL（2）因为OA杆作匀角速度转动，所以A点相对O点只有向心的速度22()nLaLL将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个分量，沿BA方向的分量LOBAωLδhβθα我爱奥赛网()()(cos)sinnnaaLLLh这就是M上升的加速度，因此绳上的的张力222sinMTMgMaMgMLh三、由于没有滑动，所以滚过平面与拐角时，轮对的轴绕O点转动，如图。若能脱离拐角，轮对拐角的压力以及摩擦力匀等于零。设在角β下发生脱离，此时轮对速度记为ν1，那么应满足下式2cosmvmgr由机械能守恒定律221(1cos)22mvmvmgr由以上方程所确定的角β只要不小于α，则轮对实际上就不会脱离拐角，因此coscos由以上可得，不脱离拐角条件为(3cos2)vgr如果2arccos3，则ν为任意值都要脱离拐角。四、此类估算的题目往往要我们学生做两个工作：（1）将实际情况近似成一个物理模型。（2）对一些题目中未给出而我们不必需的物理量做出合理的假设。（1）因为天鹅的飞行的速度比飞机的速度小得多，因此可近似认为天鹅静止。撞击后天鹅被迫获得了和飞机相同的速度（好似一肉饼贴在飞机上）（2）设天鹅长L=0.5m，重mg=5kg，飞机降落前速度为ν=180km/h（即50m/s）撞击时间t=L/ν=0.01s撞击力F=4550()0.012.510mvNtN这是一个十分巨大的里，对飞机是很危险的。五、A、B中间的隔板导热,因而A、B两部分的气体温度相等,B中温度升高后将等压膨胀.设末态时A、B温度为T′,对B部分气体有VVTTB部分气体对外做功为mgαOβ我爱奥赛网PVWPVVTRTTA、B两部分气体的内能增量为5252ERTRT根据热力学定律得EQW即7.026QTKR对A部分气体有5145.82AQRTJ对B部分气体有204.2BAQQQJ若将A、B之间位置固定的导热板换成可自由滑动的绝热板,则B部分的气体温度将不会发生变化.因为A、B部分气体的压强相等,故A部分气体对B部分气体做功总是等于B部分气体对大气做功,即B对外做的净功为零.而A部分气体则作等压膨胀,其对外做功可表示为AWPVRT这一过程A部分气体内能的增量可表示为根据热力学第一定律得72AQWERT代入数据得11.5ATK注:本题在求第二问时,还可直接用公式pQrCT,这样比较简单.六、两球形导体相距较远,意即不计一个球上的电荷在另一个球上产生的电势.两导体球用导线相连后电势必定不变,这样这两个导体球电荷重新分布后所带的电量可求.□解:设两个孤立导体球的带电量分别为Q1和Q2,则121212,QQUKUKrr两孤立导体球储存的总电量可表示为2211221122112222UrUrWQUQUKK两导体求用细线相连后带电量分别为Q1′、Q2′,则有512AERT我爱奥赛网易得121122121212(),()rrQQQQQQrrrr两导体球在细线相连后贮有的总电量可表示为1212122121122121211()()22()()2()2(QWQQUQQKrKQQUrUrrrKrr）所以,在导线上放出的能量为21212122rrUU（）（）注:在用导线相连后的两孤立导体球贮能时也可认为是两电容器并联,12CCC总,直接用212122QQWCC（）（）求,其中C1、C2为孤立导体球的电容.七、(1)将A接电源的正极,C接电源的负极,由于内外层的对称性,J、L两处的内外是可以断开的,由于IJ=AB/2,所以RAB=2RIK(均含内部无数多个内接正方形),图1可等效成如图2.图2中E和F、H和G的电势肯定相等,可以互联,因此图2可等效成图3,图3中所有的电阻根据导线的长度都可以算出,这样解一个有关RAC的方程,即可求出RAC(2)求出RAC之后求RAB并不困难.因为AB=2EF,所以剥去最外层框之后的2ACEGRR.当A、B分别接电源的正负极时,由于都处于电路中的中点,因此F、H两处内外是可以断开的.图1可以等效为土4,即可求出RAB.我爱奥赛网八、由于球心在主光轴的球面物与透镜相对主光轴所具有的旋转对称性,球面物成球面像的问题可简化为圆环物成圆环像的问题.如图所示,在透镜左侧的物光空间建立O—xy坐标系,O取在光心,x轴放置在主光轴上且指向左方,y轴在图中垂直向上.圆环物的圆心坐标为（u，0）,半径为R,所有物点满足圆方程（x-u）2+y2=R2在透镜右侧的像光空间建立O′—x′y′坐标系,该坐标面其实与O—xy坐标面重合,O′仍取光心,x′轴也放置在主光轴上但指向右方,y′轴与y轴平行.物点（x，y）对应的像点记为（x′，y′）,根据透镜成像公式几横向放大率公式,有1111xfxxfxxfxxfyyyxf由此可得2222()xfyyf利用(1)式,222222222()()1()()xfyRxufxfRxfuuff展开、整理后,即为2222222212()()yRfuxRfuuxffRuLKJIHGFEDACDCBAGEFR2xHBA12ACRDCACEGHBF1/2RACDxO′OyuRx′y′我爱奥赛网为使像点满足的此方程为圆方程,要求项系数为,即222()Rfuf因此圆环物能成圆环像的条件是(2)2Ruufuf回到(2)式,可得222()20yxfuxuff即为222()(2)xuyuufR可见所成圆环像的圆心与光心之间的距离也为μ,圆半径也为R,或者说物圆与像圆是两个完全相同的圆,它们对称的居于透镜两侧.全部物点构成一个整圆环,这是已给的条件.圆环物成圆环像,要求全部像点必须也构成一个整圆环。上述的讨论严格来说，知识证明了所有像点可以满足圆方程（4）式，但全部像带内是否能构成一整圆，需要进一步讨论。可以这样分析：设像为部分圆，记为A，可将A作为物，根据光路可逆性，其像必为一整圆记为B，再将A扩张为一整圆记为A*，且将A*作为本题中的物圆，它所成像必落在B上，这样A*中至少有两个点（一个在A中，另一个在A外）它们的像落在B中同一点上。这与物点与物点之间的一一对应的关系相矛盾，所以不可能。由此知像必为整圆，如图中虚线所示。综上所述，只要μ，R满足（3）式，则圆环物必成圆环像，球面物必成球面像。B