【高中数学竞赛】2009年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案

高中数学辅导网年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f．【答案】110【解析】121xfxfxx，2212xfxffxx……992199xfxx．故991110f．2．已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．【答案】36，【解析】设9Aaa，，则圆心M到直线AC的距离sin45dAM，由直线AC与圆M相交，得342d≤．解得36a≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft．【答案】212tt【解析】由题意知ftS阴影部分面积AOBOCDBEFSSS22111122ttFEDCBAOyx高中数学辅导网4．使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为．【答案】2009【解析】设1111221fnnnn．显然fn单调递减，则由fn的最大值1120073fa，可得2009a．5．椭圆22221xyab0ab上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为．【答案】22222abab【解析】设cossinPOPOP，，ππcossin22QOQOQ，．由P，Q在椭圆上，有222221cossinabOP①222221sincosabOQ②①+②得22221111abOPOQ．于是当22222abOPOQab时，OPOQ达到最小值22222abab．6．若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是．【答案】0k或4k【解析】20101kxxkxx当且仅当0kx①10x②2210xkx③对③由求根公式得1x，221242xkkk④2400kkk≥≤或4k≥．高中数学辅导网(ⅰ)当0k时，由③得12122010xxkxx所以1x，2x同为负根．又由④知121010xx所以原方程有一个解1x．(ⅱ)当4k时，原方程有一个解112kx．(ⅲ)当4k时，由③得12122010xxkxx所以1x，2x同为正根，且12xx，不合题意，舍去．综上可得0k或4k为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】981012【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d，22d，232d，…，98992d(ⅲ)100a为所求．设第2nn≥行的第一个数为na，则22111222nnnnnnaaaa3222222nnna24223222222nnnna323232nna……121212nnan212nn故981001012a．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090高中数学辅导网概率1213116611261136候车时间的数学期望为1111110305070902723361218二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:lykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612ykxmxy消去y化简整理得2223484480kxkmxm设11Axy，，22Bxy，，则122834kmxxk222184344480kmkm①………………………………………………4分由221412ykxmxy消去y化简整理得22232120kxkmxm设34Cxy，，44Dxy，，则34223kmxxk2222243120kmkm②………………………………………………8分因为0ACBD，所以42310xxxx，此时42310yyyy．由1234xxxx得2282343kmkmkk．所以20km或2241343kk．由上式解得0k或0m．当0k时，由①和②得2323m．因m是整数，所以m的值为3，2，1，0，1，2，3．当0m，由①和②得33k．因k是整数，所以1k，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p，0qq是实数，方程20xpxq有两个实根，，数列na满足1ap，22apq，1234nnnapaqan，，(Ⅰ)求数列na的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若1p，14q，求na的前n项和．高中数学辅导网【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q，又p，所以1212nnnnnapxqxaa，345n，，，整理得112nnnnaaaa令1nnnbaa，则112nnbbn，，．所以nb是公比为的等比数列．数列nb的首项为：222121baapqp．所以211nnnb，即11nnnaa12n，，．所以11nnnaa12n，，．①当240pq时，0，12ap，11nnnaa12n，，变为11nnnaa12n，，．整理得，111nnnnaa，12n，，．所以，数列nna成公差为1的等差数列，其首项为122a．所以2111nnann．于是数列na的通项公式为1nnan；……………………………………………………………………………5分②当240pq时，，11nnnaa1nna11nnna12n，，．整理得211nnnnaa，12n，，．所以，数列1nna成公比为的等比数列，其首项为2221a．所以121nnna．于是数列na的通项公式为11nnna．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p，14q，则240pq，此时12．由第(Ⅰ)步的结果得，数列na的通项公式为11122nnnnan，所以，na的前n项和为231234122222nnnnns234112341222222nnnnsn高中数学辅导网以上两式相减，整理得1133222nnns所以332nnns．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q，又p，所以1a，222a．特征方程20pq的两个根为，．①当0时，通项1212nnaAAnn，，由12a，223a得122212223AAAA解得121AA．故1nnan．……………………………………………………5分②当时，通项1212nnnaAAn，，．由1a，222a得12222212AAAA解得1A，2A．故1111nnnnna．…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数2713yxxx的最大和最小值．【解析】函数的定义域为013，.因为27132713213yxxxxxx2713≥3313当0x时等号成立．故y的最小值为3313．……………………………………………5分又由柯西不等式得222713yxxx11122731312123xxx≤所以11y≤．………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得491327xxx，解得9x．故当9x时高中数学辅导网等号成立．因此y的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分