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1986年第6届全国高中数学联赛第一试一、选择题1.设，10a−arcsinaθ=，那么不等式sinxa的解集为（）.A.(){}221xnxnnπθπθ++−∈，ZB.(){}221xnxnnπθπθ−++∈，ZC.(){}212xnxnnπθπθ−+−∈，ZD.(){}212xnxnnπθπθ−−+∈，Z2.Z为复数，(){}221MZZZ=−=−1，那么（）.A.M=｛纯虚数｝B.M=｛实数｝C.｛实数｝M⊂⊂｛复数｝D.M=｛复数｝3.设实数，，满足，那么的取值范围是（）.abc22287066abcabcbca⎧−−+=⎨++−+=⎩0aA.（−∞，）B.（，1）［9，+∞−∞∪+∞］C.（0，7）D.［1，9］4.如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（）.A.3B.4C.5D.65.平面上有一个点集M和七个不同的圆，，…，，其中圆恰好经过1C2C7C7CM中的7个点，圆恰好经过6CM中的6个点，…，圆恰好经过1CM中的l个点，那么M中的点数最少为（）.A.11B.12C.21D.286.边长为，b，c的三角形，其面积等于a14，而外接圆半径为l，若sabc=++，111tabc=++，则与的大小关系是（）.stA.B.C.D.不确定stst=st二、填空题1.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13.若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是.2.已知()12fxx=−，[]01x∈，，那么方程(){}12fffxx=⎡⎤⎣⎦的解的个数是.3.设()442xxfx=+，那么和式12310001001100110011001ffff⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=.4.设x，y，z为非负实数，且满足方程59459446822560xyzxyz++++−×+=，那么xyz++的最大值与最小值的乘积等于.第二试一、已知数列，1，2，…满足且i0aaa01aa≠112iiaa−+a+=（i=1，2，3，…），求证：对于任何自然n，n数n(()0110111nnnnnn)()()11nn()12221nnnpxaCxaCaCxaC−−=−++−+x−aCx−−+−x是+x的一次多项式.二、已知锐角三角形ABC的外接圆半径是R，点，DE，分别在边FBC，CA，AB上，求证：AD，BE，是的三条高的充要条件是CFABCΔ(F)2RDDE+SEF=+，式中是三角形的面积.SABC三、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得（1）三种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上无穷多次；（2）对任意白点A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点，使得DABCD为一平行四边形.证明你设计的方法符合上述要求.