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2008年第28届全国高中数学联赛第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1.函数254()2xxfxx−+=−在（，）上的最小值是（）.−∞2A.B.1C.D.0232.设，[)24A=−，{}240Bxxax=−−≤，若BA⊆，则实数的取值范围为（）.aA.[B.[)12−，]12−，C.[]03，D.[)03，36.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为0223，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）.A.24181B.26681C.27481D.6702434.若三个棱长均为整数（单位：）的正方体的表面积之和为，则这三个正方体的体积之和为（）.cm2564cmA.或B.C.或3D.3764cm3586cm3764cm3586cm564cm3586cm5.方程组的有理数解（000xyzxyzzxyyzxzy++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩x，y，）的个数为（）.zA.1B.C.D.2346.设的内角，ABCΔAB，所对的边a，，成等比数列，则CbcsincotcossincotcosACABCB++的取值范围是（）.A.(B.)0+∞，5102⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎝⎠，C.515122⎛⎞−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠，D.512⎛⎞−+∞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，二、填空题（每小题9分，共54分）7.设()fxax=+b，其中，为实数，ab()()1fxfx=，()(1nn)fxffx+=⎡⎤⎣⎦，，，3，，若，则1n=2()7128fxx=+381ab+=.8.设()()cos221cosfxxa=−+x的最小值为12−，则a=.9.将个志愿者名额分配给个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有243种.10.设数列{}na的前项和满足：nnS()11nnnSann−+=+，1n=，2，，则通项na=.11.设()fx是定义在R上的函数，若()02008f=，且对任意xR∈，满足()()232xfxfx+−≤⋅，())66(32xfx+−≥⋅fx，则(2008f)=.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.三、解答题（每小题20分，共60分）13.已知函数()sinfx=x的图像与直线ykx=（）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为0kα，求证：2cos1sinsin34ααααα+=+.14.解不等式()()121086422log35311log1xxxxx++++++.15.如图，P是抛物线22yx=上的动点，点B，C在轴上，圆()y2211xy−+=内切于PBCΔ，求Δ面积的最小值.PBC第二试一、（50分）如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令ABCD180BD∠+∠DP()fPPABCPDCAPCAB=⋅+⋅+⋅.（1）求证：当()fP达到最小值时，，PA，B，四点共圆；C（）设是2EABCΔ外接圆的OpAB上一点，满足：32AEAB=，31BCEC=−，12ECBECA∠=∠，又，是:的切线，DADCO2AC=，求()fP的最小值.二、（50分）设()fx是周期函数，T和1是()fx的周期且01T.证明：（1）若为有理数，则存在素数Tp，使1p是()fx的周期；（）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列2T{}na满足（，2，），且每个（，2，）都是11nnaa+01n=na1n=()fx的周期.三、（50分）设，，2，，2008.证明：当且仅当时，存在数列{0ka1k=200811kka=∑}nx满足以下条件：（1）00nn1xxx+=，，，3，；1n=2（）2limnnx→∞存在；（3）200820071110nnknkknkkkxxaxax−++==−=−∑∑+1n，=，2，3，.