2012年全国高中数学联赛模拟试题（2）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（2）一试一、填空题：（每小题7分，共计56分）1.若函数)(xfy图象经过点（2，4），则)22(xfy的反函数必过点__________2.a、b、c是从集合54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则cab为奇数的概率为___________3.已知数列na的通项公式是1)1(1)1(2244nnnnan，则数列na的前n项和nS=_____4.抛物线281xy的准线与y轴交于点A，过A作直线交抛物线于点M、N，点B在抛物线对称轴上，且MNMNBM)2(，则OB的取值范围是____________5.已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则cossincinsso6.如图，四面体ABCD中，ADB为等腰直角三角形，090ADB，1AD，且060ADCBDC，则异面直线AB与CD的距离为______________7.已知点)2,2(A、),(yxP，且yx,满足21122,0yxyxyx，则PA长的取值范围是________8.将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题共计44分）9.（本题14分）已知二次函数210,fxaxbxabR，设方程fxx有两个实数根12,xx．①如果1224xx，设函数fx的对称轴为0xx，求证：01x；ABCD②如果102x，且fxx的两实根的差为2，求实数b的取值范围.10．（本题15分）数列}{na满足：.,236457,1210Nnaaaannn证明：（1）对任意naNn,为正整数；(2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形ABCD中，AB是最长边，点NM,分别在边BCAB,上，且线段CMAN,平分四边形ABCD的面积，求证：线段MN平分对角线BD.2.（本题50分）定义))()(())((),,(xzzyyxzyxzxyzxyzyxf，其中zyx,,为正实数，求),,(zyxf的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.4.（本题50分）设n是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k，下述不定方程2333231...knyxxx有无穷多个正整数解);,...,,(21yxxxn.