2012年全国高中数学联赛模拟试题（5）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（5）一试一、填空题1.不等式)1()1(yyxx的解集中yx,能使kyx22成立时的k的最小值为．2.一个三位自然数)(321aaa如果同时有21aa及23aa称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是．3.若x是一个十进制四位整数，记x的各位数码之积为)(xT，各位数码之和为)(xS，p为素数，且kpxT)(，5)(ppxS，则x中的最小者是．4.已知复数列}{na的通项公式为)1()31)(21)(1(niiiian，则1nnaa等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21kVV，则mink．6.Ryx,且yyxx2313，则yx的最大值是___________．7.已知x和y是实数，yixz)4(1，yixz)4(2，21zz10，令34yxu，则u的最大值为．8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．二、解答题9.已知函数)(xf的定义域是),0(，并且满足0)1()(xfxf．如果函数)11()(xmxfxg是奇函数，试求实数m的值．10.已知数列}{na中，11a,211nnnaaa)(*Nn求证：182005a11.已知圆1:22yxO和抛物线22xy上有三个不同的点RQP,,．如果直线PQ和PR都与圆O相切．求证：直线QR也与圆O相切．二试一、ABC内接于半径为R的圆O，令I为ABC内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明:cbBCIG或acb3，其中cba,,分别为ABC三个内角A、B、C所对应的三边长．二、已知：cba,,为正实数，且3444cba，证明：1414141cabcab三、设ba,是正整数，满足1),(,122ababbabafab，求),(baf所有可能取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论．