2012年全国高中数学联赛模拟试题（6）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（6）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．从1,2,,100中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是.2．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．则双曲线的离心率为.3．在ABC中，如果2226abc，则(cotcot)tanABC的值等于.4．已知集合1,2,3,1,2,3,4MN，定义函数:fMN．设点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))AfBfCf，ABC的外接圆圆心为D，且()DADCDBR，则满足条件的函数()fx有＿＿＿＿个．5．设()fx是定义在R上的函数，对任意的xR，都有(3()3,fxfx）(2)()2fxfx，如果(1)2010f，则(2011)f的值为.6．数列na满足:*11(1)1,()2nnnnaaanNna,则20101kkka.7．立方体1111DCBAABCD中，点NM,分别在线段1ABBB，上（不包括线段的端点），满足NBAM1，则MA1与NC1所成角的取值范围是.8．若非负实数,,xyz满足22213234xyzxyz，则min()xyz.二、解答题（共56分）9．（本题满分16分）已知直线:xmyq与椭圆：124322yx交于不同两点BA、.设A关于椭圆长轴的对称点为1A，F为椭圆的右焦点，试求1A、F、B三点共线的充要条件.10．（本题满分20分）正数,,abc同时满足：14abc，2221119abc．求证：存在以,,abc为三边长的三角形．11．（本题满分20分）数列na满足：121,2aa，221211nnnnaaaa，(1,2,3,)n.试求2010a.（注：a表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.）第二试一、（本题满分40分）如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，圆O在D、E两点的切线交于点H，证明：HMBC．二、（本题满分40分）已知,,abc都是非负实数，且2abc，求222111abbccaPcab的最大值．三、（本题满分50分）设数列na满足：*12211,()nnnaaaaanN．求证：对任意的*nN，21na都不含43q型质因子（qN）．四、（本题满分50分）单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线．求证：总有某三个点为顶点的三角形面积小于8．HDEOMBCA