2012年全国高中数学联赛模拟试题（7）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（7）一、填空题：1.以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为.2.在圆4cos上有两点A，B，它们的极角分别是2,55；由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是.3.A,B为锐角，则cos2A+cos2B=47)(sinBA成立的充要条件是.4.一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为.5.锐角△ABC中，AD是高线，4ABAC217=17，4517,BCAD△ABC的面积为.6．对任意实数k，曲线x4+kx3y－6x2y2－kxy3+y4=0总可把圆x2+y2=1分成等分.7.数N=20101(21)kk的末三位数是.8.已知方程x3－7x2+1=0的最大实根为t，则[t2000]被7除的余数_______.二、解答题：9.已知三棱锥Ａ—BCD在顶点A处的三个面角（即∠BAC，∠CAD，∠DAB）分别为75°，90°，105°；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高.10．用1，2，3这三个数字构造n位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的n位数？11.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.⑴a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；⑵若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.加试模拟题1.设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足BPPE＝FQQC＝22BFCE.求证：OO′⊥PQ.O'PQOCBAFE2.求证：ln(1)n＜111231n≤1＋lnn,n=1,2,…;3.对于给定的正整数k，以f1(k)表示k的各位数字之和的平方；并设fn+1(k)=f1[fn(k)]，n=1,2,3,…;试求f2010(22009)的值.4．某种彩票的对奖号是个三位数（000—999），开出的中奖号也是个三位数．买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖．为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？