2012年全国高中数学联赛模拟试题（9）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（9）一、填空题（每小题8分，共64分）1．用nS与na分别表示区间1,0内不含数字9的位小数的和与个数．则nnnSalim=.2.已知kcoscossinsin33，则k的取值范围为．3.在空间，从一点O出发引四条射线OA，OB，OC，OD，如果∠AOB＝∠BOC＝∠DOA＝∠AOC＝，则cos=4.如图，平面α中有△ABC和△A1B1C1分别在直线m的两侧，它们与m无公共点，并且关于m成轴对称，现将α沿m折成一个直二面角，则A，B，C，A1，B1，C1六个点可以确定的平面个数为5.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2010个数是6.十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M．M的所有非空子集记为(1,2,,1023)iMi，每一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)imi.则10231iim7.设A={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)|x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集.则1211122,(,),(,)22xxyyCxyAxyB所成图形的面积是8.已知正实数a、b满足：abba23，则22baba的最大值是二.(16分)设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f(2010)|.三.(20分)求最大的正数，使得对任意实数a、b，均有222baba≤322baba四.(20分)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。AA1B1C1BCmα加试一.(40分)△ABC内接于⊙K，BD是∠B的平分线，现有⊙K1与BD相切于点I，且与AC及⊙K也相切(如图)，证明：切点Ｉ是△ABC的内心.二.(40分)设12,,,naaa为正数，证明：12233nnnnaaaaaaaaa212349naaana三.(50分)一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，每两个题恰好有两名参赛者解出.试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.四．(50分)设p是质数，且271p的不同正因数的个数不超过10个．求p．ABCDI.K.K1