2012年全国高中数学联赛模拟试题（10）

2012年全国高中数学联赛模拟试题（10）一.填空题(本题共8道小题每小题7分,满分56分)1.设函数f(x)=log0.5(x2-2ax+3)(a0)的值域为]1,(,g(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为A,集合B=[21,1],若A∩B≠Φ,则实数k的取值范围是___________;2.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则满足xsinθ-ycosθ=22yx且2222221cossinyxba的点(x,y)的轨迹方程是______________________；3.使得n21(n2)为整数的最小正整数n=_________;4.如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p0)运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C与x轴的交点.如果xANAM||||.则函数f(x)=xx1的值域是______________;5.对于所有自然数n,使得a(9·2010n+1)·2010n+(b-1)·2010n+1=(c·2010n+1)2恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________；6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_______________.7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是________.xyMNAC•OABCOEF8.非负实数x,y,z满足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是___________.三.解答题(本题共3道满分44分)9.(14分)如图,已知A,B是椭圆)0(12222babyax的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于点M,直线PB,AQ相交于点N.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程.10.(15分)设a,b∈R,点集A={(n,na+b)|n∈Z},B={(m,m2+17)|m∈Z},C={(x,y)|x2+2y2≤66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足A∩B≠Φ且(a,b)∈C.11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意x∈R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x).(1)求f(x),g(x);(2)定义数列{an}:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n≥2).二试题(本题共4道小题每小题50分,满分200分)PxyF1F2ABOQMN一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆Г1,Г2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r∶R.求证:(Ⅰ)CD=EF;(Ⅱ)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.二.(50分)设数列{xn}满足:x1=2011,nxxxnnn)1(211,n=2,3,….其中[x]表示不超过x的最大整数.求数列{xn}的通项xn.三.(50分)给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得pn+qn+rn-1,pn+qn+rn-2,…,pn+qn+rn-k均为合数.四.(50分)设正整数a1,a2,…,a2010满足:（1）ai≠211(i=1,2,…,2010),（2）任意连续若干项之和≠211.求min{20101iia}.ABCDEFГ1Г2