第二十三届2012年希望杯数学竞赛试题-高一第二试

智浪教育-普惠英才第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试2012年4月8日上午9：00至11：00得分一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的括号内。1.设,AB是同一个三角形的两个内角，则不是AB成立的充要条件的是（）()sinsinAAB()sin2sin2BAB()coscosCAB()cos2cos2DAB2.函数()lg2fxx的单调增区间是（）()(,1)(3,)A()(1,2)(3,)B()(,1)(2,3)C()(1,2)(2,3)D3.图1中的图形所表示的是将棱长为a的立方体用一个平面切割后剩下的几何体，则它的体积不等于原立方体体积一半的有（）个。()3A()4B()5C()6D4.{}na是公比不为1的等比数列，nS是{}na的前n项和。给出下面3个命题：（1）若{}na中既有正数，又有负数，那么{}nS中也既有正数，又有负数；（2）{}na不可能同时具有最大值和最小值；（3）10201030204030,,,,SSSSSSS构成等比数列。其中，真命题的个数是（）()0A()1B()2C()3D智浪教育-普惠英才5.在正数数列{}na中，1111,44nnnaaaa，则2012a（）()1012025A()1012036B()1013025C()1013036D６.若存在[1,2]x，使得2120xa，则a的取值范围是（）13()(,)22A13()(,)(,)22B13()(,)44C13()(,)(,)44D７.已知O是坐标原点，动点M在圆22:(4)4Cxy上，对该坐标平面内的点N和P，若20ONOMMCMP，则NP的取值范围是（）()[0,12]A()[1,11]B()[2,11]C()[1,12]D８.已知关于x的方程320axbxcxd有三个不同的实根，其中一个是０，则它的系数中不能是０的仅有（）(),Aac(),Bbc(),Cad(),Dbd９.已知集合{|Aa关于x的方程22149xax有唯一实数解}，则集合A的真子集的个数是（）()0A()3B()7C()8D１０.如图２所示，已知圆锥的底面半径为７，母线长为１４，FC是轴截面ABC底角ACB的角平分线，BD是底面的一条弦，且30DBC，则直线FC与BD的距离是（）()14A()27B()37C7()2D二、填空题（每小题4分，共40分）11.直角梯形ABCD中，90ABC，//,2,4,ADBCABADBCI为BD的中点，直线MN过I点，且与线段AB、CD分别交于点M、N，则ANCM的最小值是12.已知218yxx且101yx，则x的取值范围是13.当1,01ax时，函数2()8fxxax的最大值是14.若实数,ab满足01ab，则智浪教育-普惠英才11()logloglogaabfxxbxxbb的最小值是15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列，则公比的值等于16.Supposemisinteger,if(4,),(2,4),2,2,ambmOAabOBabOAOB,ThentheareaoftheOABis17.四面体ABCD的三组对棱分别相等，长度分别为3，4，x，那么x的取值范围是18.Suppose,xyR,and2xy,thenthevaluerangefor32232xxyyis19.设等比数列{}na的公比0,1,nqS表示{}na的前n项的和，nT表示{}na前n项的乘积，()nTk表示{}na的前n项中除去第k项后所剩余的1n项的乘积，即*()(,,)nnkTTknkNkna，则数列{}(1)(2)()nnnnnSTTTTn的前n项的和是（用1a和q表示）20.在32431kk的约数中，平方数有个三、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分10分）求数列1，3+7，13+21+31，43+57+73+91，…的第21项中的第12个数。22.（本题满分15分）在6,4ABAD的矩形纸片ABCD中剪去圆M与圆'M，其中圆M与AB、AD相切，圆'M与BC、CD相切，且圆M与圆'M外切，则剩余部分的面积是否有最大值与最小值？若有，求出最值；若没有，说明理由。智浪教育-普惠英才23.（本题满分15分）已知函数:fRR满足：①()()()1fmnfmfn；②当1x时，()1fx。解答以下问题：（1）求证：()fx增函数；（2）若(2012)6037f，解不等式2(813)4.faa智浪教育-普惠英才智浪教育-普惠英才