［初中数学辅导资料］分式

智浪教育-普惠英才华师大版八年级数学下册家庭辅导资料第十七章分式知识结构：分式方程分式运算分式分式的基本性质零指数冪与负数指数冪科学记数法可能产生增根通分分式的乘除分式的加减约分应知一、基本概念。分式：一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，且B≠0。【注意】①对整式、分式的正确区别：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。②a1＋4带有a是无理式，不是整式，故不是分式。③当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不等于零时，分式有意义。当分式的分子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的结果均要化为最简分式。有理式：整式和分式统称有理式。约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。智浪教育-普惠英才【注意】①约分的步骤主要是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。②分式的约分是分式的分子与分母整体进行的，分式的分子和分母必须都是乘积的形式，才能进行约分。③分式分子有负号时，先把负号提到分式的前面。④要将(a－b)与(b－a)统一成(a－b)，注意－(a－b)3=(b－a)3，(a－b)4=(b－a)4。⑤分式的分子与分母虽然是积的形式，但没有公因式，并且每一个因式都还能分解时，要先分解再约分。通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。【注意】①通分的关键大确定几个分母的最简公分母。②找最简公分母的方法步骤：（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。这样取出的因式的积，就是最简公分母。③系数不是整数时，要先根据分式的基本性质，把它们化成整数。④分母是多项式时，要对分母进行因式分解，并注意统一字母排列顺序（一般按某一字母的降幂排列）；分母的系数是负数的，一般把负号提到分式本身前面去。分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根。二、基本法则1.分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即：A/B=(A×M)/(B×M)=(A÷N)/(B÷N),其中M、N为整式，且B≠0,M≠0,N≠0。2.分式运算法则乘除法法则：（1）分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为ab·dc=adbc；（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，用式子表示为ba÷dc=ba·cd=bcad。乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。用式子表示为：(ba)n=nnba（其中n为正整数）。加减法法则：同分母分式的加减法与同分母分数的加减法的法则类似，即分母不变，分子相加减，用式子表示是：ca±cb=cba。异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：ba±dc=bdbcad。应会智浪教育-普惠英才1.分式化简(求最简分式)。【注意】①约分是利用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变。所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果是最简分式。②通分要先确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。2.分式运算。【注意】①加减乘除类似分数。②整数指数幂有以下运算性质：（1）aman=am+n（m，n是整数)；（2）(am)n=amn（m，n是整数）（3）(ab)n=anbn（n是整数）；（4）am÷an=am-n（m，n是整数）（5）(ab)n=nnab（n是整数）；（6）a-n=1na（a≠0）；特别地，当a≠0时，a0=1.有了负整数指数幂后，小于1的正整数也可以用科学记数法表示．③在分式的加减法运算中，注意把分子看成一个整体用括号括起来，再相加减，异分母分式的加减，要注意确定最简公分母．④在分式的加减法运算中：（1）计算前，注意幂的底数、指数、特别是各项系数．（2）要根据性质正确计算，防止（-2）-2=4，-2-2=211(2)4等类错误．（3）注意运算顺序，结果中不同时含分式和负整数指数幂．3.解分式方程。【注意】①解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。②可能有增根。（1）增根产生原因：分式方程变形所得的整式方程的某个根使变形时所乘的整式的值为零，它就不适合原方程，即是原方程的增根．因为这个根会使分式方程的某个分母为零，不符合分式方程的定义。（2）增根的检验：将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根。③解分式方程应用题必须双检验：a.检验方程的解是否是原方程的解；b.检验方程的解是否符合题意。例题1.当x取何值时，分式无意义？2.当x为何值时，分式的值为0？2312xxxxx21智浪教育-普惠英才3.填空：（1）xxx22=2x22633xxyxyx（2）abbaba222ababa2（b≠0）4.通分（1）yxyx22与2)(yxxy（2）9422mmn与3232mm（3）yx3与223yx（4）bac26与23abc（5）xxx21和xxx215.先化简，再求值：,21222222abbaabbaba其中a=5,b=-36.先化简，再求值：32,32,24422222yxyxyxyxyxyx其中7.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则2abmdcabc．8.方程2515xxm有增根，求m的值。9.计算：（1）)4(3)98(23232bxbaxyyxab（2）xxxxxxx3)2)(3()3(44462210.计算：（1）96261312xxxx（2）22643461461xyxyxyx11.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的32，求甲、乙两队单独完成各需多少天？12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。13.甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器各加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？14.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,智浪教育-普惠英才需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?参考答案1.322.-13.(1)1x2(2)aba22bab24.(1)2222yx2xy2yx2yx与(2)9m432m9m4mn2222与(3)22y6x9y6xy2与(4)2222ba3acba3bc18与(5)1xx1x1xx1x2222与5.原式=1352ba2baab2baabbaba26.原式=436323232232yxy2xyxyxy2xy2xyx27.原式=1m2=4－1=3填空38.解方程：-m=1-2x+10，m=2x-11∵有增根∴x-5=0，x=5m=-19.(1)原式=xbbaxyyxab34)98(23232(先把除法统一成乘法运算)=xbbaxyyxab349823232（判断运算的符号）=32916axb（约分到最简分式）(2)原式=xxxxxxx3)2)(3(31444622(先把除法统一成乘法运算)=xxxxxx3)2)(3(31)2()3(22(分子、分母中的多项式分解因式)=)3()2)(3(31)2()3(22xxxxxx=22x(约分到最简分式）10.(1)原式=)3)(3(6)3(2131xxxxx(先把分母分解因式)=)3)(3(212)3)(1()3(2xxxxx(确定最简公分母,进行通分)智浪教育-普惠英才=)3)(3(2)96(2xxxx=)3)(3(2)3(2xxx=623xx(约分到最简分式）(2)原式=y)2x3y)(2x3(x3y)2x3(21y)2x3(21=y)2x3y)(2x3(22(3x)2y)-(3x-y)2x3(=y2x3111.解：设乙队单独完成工程需x天，则甲队单独完成工程需x32天由题意：1x322x2x1解得：x=64x32检验：∵2x≠0，∴x=6满足原方程，并与实际题意相符。答：甲队单独完成工程需4天，乙队单独完成工程需6天。12.解：设原计划行军速度为x千米/小时由题意：1x60x2.160解得：x=10检验：∵1.2x≠0，∴x=10满足原方程，并与实际题意相符。答：原计划行军速度为10千米/小时13.解：设加入x升水，由题意：x20%1820x30%1530解得：x=20检验：∵30+x≠020+x≠0∴x=30满足原方程，并与实际题意相符。答：应加入20升水。14.解：设规定日期为x天，由题意：4x3x4x3x31解得：x=12检验：∵x≠0x+4≠0∴x=12满足原方程，并与实际题意相符。答：原规定日期为12天。智浪教育-普惠英才