［初中数学辅导资料］平行四边形的判定

智浪教育-普惠英才华师大版八年级数学下册家庭辅导资料第二十章平行四边形的判定知识结构：两组对边分别平行两组对边分别相等两组对角分别相等两条对角线相互平分一组对边平行且相等四边形三个角是直角四条边都相等只有一组对边平行平行四边形一组邻边相等且有一个角是直角矩形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形梯形同一底上的两个角相等两条对角线相等等腰梯形一个角是直角对角线相等一组邻边相等对角线相互垂直应知基本法则1.平行四边形的判定。⑴两组对边分别平行的四边形。⑵两组对边分别相等的四边形。⑶一组对边平行且相等的四边形。⑷两条对角线相互平分的四边形。⑸两组对角分别相等的四边形。2.矩形的判定。智浪教育-普惠英才⑴三个角是直角的四边形。⑵一个角是直角的平行四边形。⑶对角线相等的平行四边形。3.菱形的判定。⑴四条边都相等的四边形。⑵一组邻边相等的平行四边形。⑶对角线相互垂直的平行四边形。4.正方形的判定。⑴一组邻边相等的矩形。⑵一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。⑶一个角是直角的菱形。5.等腰梯形的判定。⑴同一底上的两个角相等的梯形。⑵两条对角线相等的梯形。应会判定平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形。例题1.四边形的ABCD是平行四边形，BE=FD求证：四边形AECF是平行四边形。2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。（1）求证：四边形ADCE是矩形。（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。3.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．（3）邻角相等的四边形是菱形．（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．4.请在括号中填写每一步推理根据．已知菱形ABCD的边长为10，AC=12，求菱形ABCD的面积．解：∵菱形ABCD（①），ABCDEF智浪教育-普惠英才∴AO=CO，BO=DO（②），∠AOB=90°（③）．∵AC=12（④），∴AO=6．∵AB=10（⑤），∴BO=8（⑥）．∴BD=2BO=16．∴S菱形ABCD=12×16×12=96（⑦）．5.如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，ED//BC，EF//AC，求证：BE＝CF。6.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F。（1）求证：EF＝DF；（2）求EF的长。7.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC°，2OC，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)，C．(211)，D．(121)，8.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．9.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG⊥于E，BFDE∥，交AG于F．求证：AFBFEF．yxOABCABFCED123EAFDBCADQBEPNMCABCDEFG智浪教育-普惠英才10.如图：已知在ABC△中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DEABDFAC⊥，⊥，垂足分别为EF，.（1）求证：BEDCFD△≌△；（2）若90A°，求证：四边形DFAE是正方形.11.如图15，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是．12.如图18，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，EF、两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当ABDC时，求证：ABCD是矩形．13.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（4）当点O运动到何处，且ABC△满足什么条件时，四边形AECF是正方形？参考答案1.证明：∵ABCD是平行四边形∴∠ADB=∠DBCBC=AD又∵BE=DF∴△ABE≌△CDFAF=CE同理可证AE=CF∴DFBE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)2.证明：ABCDEFADCD′B′BC′ABCDEFABCMNEFO智浪教育-普惠英才（1）∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠CAM=∠B+∠ACB,AN是∠CAM的平分线∴∠MAN=∠B∴AN‖BC∵AD⊥BC,CE⊥AN∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°∴四边形ADCE是矩形。（2）当△ABC满足∠BAC=90°时四边形ADCE是一个正方形∵∠BAC=90°，则∠CAD=∠BAD=45°∴∠ACD=45°∴AD=CD∴矩形ADCE是一个正方形3.(1)对，理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形。(2)对，理由：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形。(3)不对，理由：菱形的邻角互补。邻角相等相等的四边形是矩形。(4)不对，理由：菱形必须四条边都相等。(5)对，理由：两组对角分别相等的四边形是矩形，一组邻边相等的矩形是菱形。(6)不对，理由：对角线互相垂直平分的四边形才是菱形。(7)对，理由：菱形的判定定理。4.①已知②菱形对角线互相平分③菱形的对角线互相垂直④已知⑤已知⑥勾股定理⑦菱形面积等于对角线乘积的一半。5.证明：∵ED//BC∴∠2＝∠3∵BD平分∠ABC∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3∴BE＝ED∵ED//BC∴ED//FC∵EF//DC∴四边形EFCD为平行四边形∴ED＝FC∴BE＝CF6.证明：（1）∵折叠∴AECABC，∠B＝∠E，AB＝AE∵四边形ABCD为矩形∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°∴AE＝DC，∠E＝∠D＝90°在ΔAEF和ΔCDF中DFEFCDFAEFCDAEDFCEFADE∴△AEF≌△CDF，EF=DF（2）设EF＝x∴在RtΔAEF中222AFEFAE智浪教育-普惠英才222x4x3,解得：87x答：EF的长为877.C8.解：四边形PQMN为菱形，证明如下：连接AC、BD，∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ∥AC，且PQ=AC21同理：MN∥AC，且MN=AC21，∴PQ∥MN，且PQ=MN∴四边形PQMN为平行四边形在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝21AC＝21BD＝PN，∴□PQMN为菱形。9.证明：ABCD是正方形，90ADABBAD，°．DEAG⊥，90DEGAED°．90ADEDAE°．又90BAFDAEBAD°，ADEBAF．BFDE∥，AFBDEGAED．在ABF△与DAE△中，AFBAEDADEBAFADAB，(AAS)ABFDAE△≌△．BFAE．AFAEEF，AFBFEF．[来源10.证明：（1）DEABDFAC⊥，⊥，90BEDCFD°，ABAC，BC，D是BC的中点，BDCD，BEDCFD△≌△.（2）DEABDFAC⊥，⊥，90AEDAFD°，90A°，21世纪教育网四边形DFAE为矩形.BEDCFD△≌△，智浪教育-普惠英才DEDF，四边形DFAE为正方形．11.答案：1212.（1）解：13ADBC．理由如下：ADBCABDEAFDC∥，∥，∥，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形.ADBEADFC，．又四边形AEFD是平行四边形，ADEF．ADBEEFFC．13ADBC．（2）证明：四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，DEABAFDC，．ABDCDEAF，．又四边形AEFD是平行四边形，四边形AEFD是矩形．13.解：（1）OEOF．其证明如下：∵CE是ACB的平分线，12．∵MNBC∥，∴13．∴23．∴OEOC．同理可证OCOF．∴OEOF．（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BFEC⊥，而由（1）可知FCEC⊥，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵EOFO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形．又∵12，45．∴124180902，即90ECF．ABCDC′EB′D′【观察与分析】将AD′延长至C，不难看出，阴影部分面积等于△ABC面积－△CD′E面积，而CD′=12.智浪教育-普惠英才∴四边形AECF是矩形．（4）当点O运动到AC中点时，OEOF，OAOC，则四边形AECF为，要使AECF为正方形，必须使EFAC⊥．∵EFBC∥，∴ACBC⊥，∴ABC△是以ACB为直角的直角三角形，∴当点O为AC中点且ABC△是以ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．